Cálculo Exemplos

$\log (w) + \log (3 w - 13) = 1$

Etapa 1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.1

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log (w (3 w - 13)) = 1$

Etapa 1.2

Simplifique multiplicando.

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Etapa 1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\log (w (3 w) + w \cdot - 13) = 1$

Etapa 1.2.2

Reordene.

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Etapa 1.2.2.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\log (3 w \cdot w + w \cdot - 13) = 1$

Etapa 1.2.2.2

Mova $- 13$ para a esquerda de $w$ .

$\log (3 w \cdot w - 13 \cdot w) = 1$

Etapa 1.3

Multiplique $w$ por $w$ somando os expoentes.

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Etapa 1.3.1

Mova $w$ .

$\log (3 (w \cdot w) - 13 \cdot w) = 1$

Etapa 1.3.2

Multiplique $w$ por $w$ .

$\log (3 w^{2} - 13 \cdot w) = 1$

$\log (3 w^{2} - 13 w) = 1$

Etapa 2

Reescreva $\log (3 w^{2} - 13 w) = 1$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$10^{1} = 3 w^{2} - 13 w$

Etapa 3

Resolva $w$ .

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Etapa 3.1

Reescreva a equação como $3 w^{2} - 13 w = 10^{1}$ .

$3 w^{2} - 13 w = 10$

Etapa 3.2

Subtraia $10$ dos dois lados da equação.

$3 w^{2} - 13 w - 10 = 0$

Etapa 3.3

Fatore por agrupamento.

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Etapa 3.3.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 3 \cdot - 10 = - 30$ e cuja soma é $b = - 13$ .

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Etapa 3.3.1.1

Fatore $- 13$ de $- 13 w$ .

$3 w^{2} - 13 w - 10 = 0$

Etapa 3.3.1.2

Reescreva $- 13$ como $2$ mais $- 15$

$3 w^{2} + (2 - 15) w - 10 = 0$

Etapa 3.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$3 w^{2} + 2 w - 15 w - 10 = 0$

Etapa 3.3.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 3.3.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(3 w^{2} + 2 w) - 15 w - 10 = 0$

Etapa 3.3.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$w (3 w + 2) - 5 (3 w + 2) = 0$

Etapa 3.3.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $3 w + 2$ .

$(3 w + 2) (w - 5) = 0$

Etapa 3.4

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$3 w + 2 = 0$

$w - 5 = 0$

Etapa 3.5

Defina $3 w + 2$ como igual a $0$ e resolva para $w$ .

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Etapa 3.5.1

Defina $3 w + 2$ como igual a $0$ .

$3 w + 2 = 0$

Etapa 3.5.2

Resolva $3 w + 2 = 0$ para $w$ .

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Etapa 3.5.2.1

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$3 w = - 2$

Etapa 3.5.2.2

Divida cada termo em $3 w = - 2$ por $3$ e simplifique.

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Etapa 3.5.2.2.1

Divida cada termo em $3 w = - 2$ por $3$ .

$\frac{3 w}{3} = \frac{- 2}{3}$

Etapa 3.5.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.5.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 3.5.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 w}{3} = \frac{- 2}{3}$

Etapa 3.5.2.2.2.1.2

Divida $w$ por $1$ .

$w = \frac{- 2}{3}$

Etapa 3.5.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.5.2.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$w = - \frac{2}{3}$

Etapa 3.6

Defina $w - 5$ como igual a $0$ e resolva para $w$ .

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Etapa 3.6.1

Defina $w - 5$ como igual a $0$ .

$w - 5 = 0$

Etapa 3.6.2

Some $5$ aos dois lados da equação.

$w = 5$

Etapa 3.7

A solução final são todos os valores que tornam $(3 w + 2) (w - 5) = 0$ verdadeiro.

$w = - \frac{2}{3}, 5$

Etapa 4

Exclua as soluções que não tornam $\log (w) + \log (3 w - 13) = 1$ verdadeira.

$w = 5$