Cálculo Exemplos

$2^{2 x} - 24 \cdot 2^{x} + 128 = 0$

Etapa 1

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 1.1

Reescreva $2^{2 x}$ como ${(2^{x})}^{2}$ .

${(2^{x})}^{2} - 24 \cdot 2^{x} + 128 = 0$

Etapa 1.2

Deixe $u = 2^{x}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $2^{x}$ .

$u^{2} - 24 u + 128 = 0$

Etapa 1.3

Fatore $u^{2} - 24 u + 128$ usando o método AC.

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Etapa 1.3.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $128$ e cuja soma é $- 24$ .

$- 16, - 8$

Etapa 1.3.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(u - 16) (u - 8) = 0$

Etapa 1.4

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2^{x}$ .

$(2^{x} - 16) (2^{x} - 8) = 0$

Etapa 2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$2^{x} - 16 = 0$

$2^{x} - 8 = 0$

Etapa 3

Defina $2^{x} - 16$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 3.1

Defina $2^{x} - 16$ como igual a $0$ .

$2^{x} - 16 = 0$

Etapa 3.2

Resolva $2^{x} - 16 = 0$ para $x$ .

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Etapa 3.2.1

Some $16$ aos dois lados da equação.

$2^{x} = 16$

Etapa 3.2.2

Crie expressões equivalentes na equação que tenham bases iguais.

$2^{x} = 2^{4}$

Etapa 3.2.3

Como as bases são iguais, as duas expressões só serão iguais quando os expoentes também forem iguais.

$x = 4$

Etapa 4

Defina $2^{x} - 8$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 4.1

Defina $2^{x} - 8$ como igual a $0$ .

$2^{x} - 8 = 0$

Etapa 4.2

Resolva $2^{x} - 8 = 0$ para $x$ .

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Etapa 4.2.1

Some $8$ aos dois lados da equação.

$2^{x} = 8$

Etapa 4.2.2

Crie expressões equivalentes na equação que tenham bases iguais.

$2^{x} = 2^{3}$

Etapa 4.2.3

Como as bases são iguais, as duas expressões só serão iguais quando os expoentes também forem iguais.

$x = 3$

Etapa 5

A solução final são todos os valores que tornam $(2^{x} - 16) (2^{x} - 8) = 0$ verdadeiro.

$x = 4, 3$