Cálculo Exemplos

$25^{x} - 2 \cdot 5^{x} = 3$

Etapa 1

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$25^{x} - 2 \cdot 5^{x} - 3 = 0$

Etapa 2

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

Reescreva $25^{x}$ como ${(5^{2})}^{x}$ .

${(5^{2})}^{x} - 2 \cdot 5^{x} - 3 = 0$

Etapa 2.2

Reescreva ${(5^{2})}^{x}$ como ${(5^{x})}^{2}$ .

${(5^{x})}^{2} - 2 \cdot 5^{x} - 3 = 0$

Etapa 2.3

Deixe $u = 5^{x}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $5^{x}$ .

$u^{2} - 2 u - 3 = 0$

Etapa 2.4

Fatore $u^{2} - 2 u - 3$ usando o método AC.

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Etapa 2.4.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 3$ e cuja soma é $- 2$ .

$- 3, 1$

Etapa 2.4.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(u - 3) (u + 1) = 0$

Etapa 2.5

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $5^{x}$ .

$(5^{x} - 3) (5^{x} + 1) = 0$

Etapa 3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$5^{x} - 3 = 0$

$5^{x} + 1 = 0$

Etapa 4

Defina $5^{x} - 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 4.1

Defina $5^{x} - 3$ como igual a $0$ .

$5^{x} - 3 = 0$

Etapa 4.2

Resolva $5^{x} - 3 = 0$ para $x$ .

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Etapa 4.2.1

Some $3$ aos dois lados da equação.

$5^{x} = 3$

Etapa 4.2.2

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (5^{x}) = \ln (3)$

Etapa 4.2.3

Expanda $\ln (5^{x})$ movendo $x$ para fora do logaritmo.

$x \ln (5) = \ln (3)$

Etapa 4.2.4

Divida cada termo em $x \ln (5) = \ln (3)$ por $\ln (5)$ e simplifique.

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Etapa 4.2.4.1

Divida cada termo em $x \ln (5) = \ln (3)$ por $\ln (5)$ .

$\frac{x \ln (5)}{\ln (5)} = \frac{\ln (3)}{\ln (5)}$

Etapa 4.2.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.2.4.2.1

Cancele o fator comum de $\ln (5)$ .

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Etapa 4.2.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x \ln (5)}{\ln (5)} = \frac{\ln (3)}{\ln (5)}$

Etapa 4.2.4.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{\ln (3)}{\ln (5)}$

Etapa 5

Defina $5^{x} + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 5.1

Defina $5^{x} + 1$ como igual a $0$ .

$5^{x} + 1 = 0$

Etapa 5.2

Resolva $5^{x} + 1 = 0$ para $x$ .

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Etapa 5.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$5^{x} = - 1$

Etapa 5.2.2

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (5^{x}) = \ln (- 1)$

Etapa 5.2.3

Não é possível resolver a equação, porque $\ln (- 1)$ é indefinida.

Indefinido

Etapa 5.2.4

Não há uma solução para $5^{x} = - 1$

Nenhuma solução

Etapa 6

A solução final são todos os valores que tornam $(5^{x} - 3) (5^{x} + 1) = 0$ verdadeiro.

$x = \frac{\ln (3)}{\ln (5)}$

Etapa 7

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$x = \frac{\ln (3)}{\ln (5)}$

Forma decimal:

$x = 0.68260619 \dots$