Cálculo Exemplos

$3^{2 x} - 3^{x + 2} + 8 = 0$

Etapa 1

Reescreva $3^{x + 2}$ como $3^{x} \cdot 3^{2}$ .

$3^{2 x} - (3^{x} \cdot 3^{2}) + 8 = 0$

Etapa 2

Reescreva $3^{2 x}$ como exponenciação.

${(3^{x})}^{2} - (3^{x} \cdot 3^{2}) + 8 = 0$

Etapa 3

Remova os parênteses.

${(3^{x})}^{2} - 3^{x} \cdot 3^{2} + 8 = 0$

Etapa 4

Substitua $u$ por $3^{x}$ .

$u^{2} - u \cdot 3^{2} + 8 = 0$

Etapa 5

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.1

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$u^{2} - u \cdot 9 + 8 = 0$

Etapa 5.2

Multiplique $9$ por $- 1$ .

$u^{2} - 9 u + 8 = 0$

Etapa 6

Resolva $u$ .

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Etapa 6.1

Fatore $u^{2} - 9 u + 8$ usando o método AC.

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Etapa 6.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $8$ e cuja soma é $- 9$ .

$- 8, - 1$

Etapa 6.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(u - 8) (u - 1) = 0$

Etapa 6.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$u - 8 = 0$

$u - 1 = 0$

Etapa 6.3

Defina $u - 8$ como igual a $0$ e resolva para $u$ .

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Etapa 6.3.1

Defina $u - 8$ como igual a $0$ .

$u - 8 = 0$

Etapa 6.3.2

Some $8$ aos dois lados da equação.

$u = 8$

Etapa 6.4

Defina $u - 1$ como igual a $0$ e resolva para $u$ .

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Etapa 6.4.1

Defina $u - 1$ como igual a $0$ .

$u - 1 = 0$

Etapa 6.4.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$u = 1$

Etapa 6.5

A solução final são todos os valores que tornam $(u - 8) (u - 1) = 0$ verdadeiro.

$u = 8, 1$

Etapa 7

Substitua $8$ por $u$ em $u = 3^{x}$ .

$8 = 3^{x}$

Etapa 8

Resolva $8 = 3^{x}$ .

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Etapa 8.1

Reescreva a equação como $3^{x} = 8$ .

$3^{x} = 8$

Etapa 8.2

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (3^{x}) = \ln (8)$

Etapa 8.3

Expanda $\ln (3^{x})$ movendo $x$ para fora do logaritmo.

$x \ln (3) = \ln (8)$

Etapa 8.4

Divida cada termo em $x \ln (3) = \ln (8)$ por $\ln (3)$ e simplifique.

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Etapa 8.4.1

Divida cada termo em $x \ln (3) = \ln (8)$ por $\ln (3)$ .

$\frac{x \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{\ln (8)}{\ln (3)}$

Etapa 8.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 8.4.2.1

Cancele o fator comum de $\ln (3)$ .

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Etapa 8.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{\ln (8)}{\ln (3)}$

Etapa 8.4.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{\ln (8)}{\ln (3)}$

Etapa 9

Substitua $1$ por $u$ em $u = 3^{x}$ .

$1 = 3^{x}$

Etapa 10

Resolva $1 = 3^{x}$ .

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Etapa 10.1

Reescreva a equação como $3^{x} = 1$ .

$3^{x} = 1$

Etapa 10.2

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (3^{x}) = \ln (1)$

Etapa 10.3

Expanda $\ln (3^{x})$ movendo $x$ para fora do logaritmo.

$x \ln (3) = \ln (1)$

Etapa 10.4

Simplifique o lado direito.

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Etapa 10.4.1

O logaritmo natural de $1$ é $0$ .

$x \ln (3) = 0$

Etapa 10.5

Divida cada termo em $x \ln (3) = 0$ por $\ln (3)$ e simplifique.

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Etapa 10.5.1

Divida cada termo em $x \ln (3) = 0$ por $\ln (3)$ .

$\frac{x \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{0}{\ln (3)}$

Etapa 10.5.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 10.5.2.1

Cancele o fator comum de $\ln (3)$ .

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Etapa 10.5.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{0}{\ln (3)}$

Etapa 10.5.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{\ln (3)}$

Etapa 10.5.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 10.5.3.1

Divida $0$ por $\ln (3)$ .

$x = 0$

Etapa 11

Liste as soluções que tornam a equação verdadeira.

$x = \frac{\ln (8)}{\ln (3)}, 0$

Etapa 12

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$x = \frac{\ln (8)}{\ln (3)}, 0$

Forma decimal:

$x = 1.89278926 \dots, 0$