Cálculo Exemplos

$x^{2} - x = \log_{5} (25)$

Etapa 1

A base do logaritmo $5$ de $25$ é $2$ .

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Etapa 1.1

Reescreva como uma equação.

$x^{2} - x = \log_{5} (25) = x$

Etapa 1.2

Reescreva $\log_{5} (25) = x$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b$ não for igual a $1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$x^{2} - x = 5^{x} = 25$

Etapa 1.3

Crie expressões equivalentes na equação que tenham bases iguais.

$x^{2} - x = 5^{x} = 5^{2}$

Etapa 1.4

Como as bases são iguais, as duas expressões só serão iguais quando os expoentes também forem iguais.

$x^{2} - x = x = 2$

Etapa 1.5

A variável $x$ é igual a $2$ .

$x^{2} - x = 2$

Etapa 2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$x^{2} - x - 2 = 0$

Etapa 3

Fatore $x^{2} - x - 2$ usando o método AC.

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Etapa 3.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 2$ e cuja soma é $- 1$ .

$- 2, 1$

Etapa 3.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(x - 2) (x + 1) = 0$

Etapa 4

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

$x + 1 = 0$

Etapa 5

Defina $x - 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 5.1

Defina $x - 2$ como igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Etapa 5.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 6

Defina $x + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 6.1

Defina $x + 1$ como igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Etapa 6.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x = - 1$

Etapa 7

A solução final são todos os valores que tornam $(x - 2) (x + 1) = 0$ verdadeiro.

$x = 2, - 1$