Cálculo Exemplos

$\log_{2} (x + 4) + \log_{2} (x - 4) = 1$

Etapa 1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.1

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{2} ((x + 4) (x - 4)) = 1$

Etapa 1.2

Expanda $(x + 4) (x - 4)$ usando o método FOIL.

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Etapa 1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\log_{2} (x (x - 4) + 4 (x - 4)) = 1$

Etapa 1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\log_{2} (x \cdot x + x \cdot - 4 + 4 (x - 4)) = 1$

Etapa 1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\log_{2} (x \cdot x + x \cdot - 4 + 4 x + 4 \cdot - 4) = 1$

Etapa 1.3

Simplifique os termos.

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Etapa 1.3.1

Combine os termos opostos em $x \cdot x + x \cdot - 4 + 4 x + 4 \cdot - 4$ .

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Etapa 1.3.1.1

Reorganize os fatores nos termos $x \cdot - 4$ e $4 x$ .

$\log_{2} (x \cdot x - 4 x + 4 x + 4 \cdot - 4) = 1$

Etapa 1.3.1.2

Some $- 4 x$ e $4 x$ .

$\log_{2} (x \cdot x + 0 + 4 \cdot - 4) = 1$

Etapa 1.3.1.3

Some $x \cdot x$ e $0$ .

$\log_{2} (x \cdot x + 4 \cdot - 4) = 1$

Etapa 1.3.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.3.2.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$\log_{2} (x^{2} + 4 \cdot - 4) = 1$

Etapa 1.3.2.2

Multiplique $4$ por $- 4$ .

$\log_{2} (x^{2} - 16) = 1$

Etapa 2

Reescreva $\log_{2} (x^{2} - 16) = 1$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$2^{1} = x^{2} - 16$

Etapa 3

Resolva $x$ .

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Etapa 3.1

Reescreva a equação como $x^{2} - 16 = 2^{1}$ .

$x^{2} - 16 = 2$

Etapa 3.2

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da equação.

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Etapa 3.2.1

Some $16$ aos dois lados da equação.

$x^{2} = 2 + 16$

Etapa 3.2.2

Some $2$ e $16$ .

$x^{2} = 18$

Etapa 3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{18}$

Etapa 3.4

Simplifique $\pm \sqrt{18}$ .

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Etapa 3.4.1

Reescreva $18$ como $3^{2} \cdot 2$ .

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Etapa 3.4.1.1

Fatore $9$ de $18$ .

$x = \pm \sqrt{9 (2)}$

Etapa 3.4.1.2

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{3^{2} \cdot 2}$

Etapa 3.4.2

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \pm 3 \sqrt{2}$

Etapa 3.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 3.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 3 \sqrt{2}$

Etapa 3.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 3 \sqrt{2}$

Etapa 3.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 3 \sqrt{2}, - 3 \sqrt{2}$

Etapa 4

Exclua as soluções que não tornam $\log_{2} (x + 4) + \log_{2} (x - 4) = 1$ verdadeira.

$x = 3 \sqrt{2}$

Etapa 5

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$x = 3 \sqrt{2}$

Forma decimal:

$x = 4.24264068 \dots$