Cálculo Exemplos

$\log_{2} (x + 1) + \log_{2} (x - 3) = 5$

Etapa 1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{2} ((x + 1) (x - 3)) = 5$

Etapa 1.2

Expanda $(x + 1) (x - 3)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\log_{2} (x (x - 3) + 1 (x - 3)) = 5$

Etapa 1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\log_{2} (x \cdot x + x \cdot - 3 + 1 (x - 3)) = 5$

Etapa 1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\log_{2} (x \cdot x + x \cdot - 3 + 1 x + 1 \cdot - 3) = 5$

Etapa 1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$\log_{2} (x^{2} + x \cdot - 3 + 1 x + 1 \cdot - 3) = 5$

Etapa 1.3.1.2

Mova $- 3$ para a esquerda de $x$ .

$\log_{2} (x^{2} - 3 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 3) = 5$

Etapa 1.3.1.3

Multiplique $x$ por $1$ .

$\log_{2} (x^{2} - 3 x + x + 1 \cdot - 3) = 5$

Etapa 1.3.1.4

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$\log_{2} (x^{2} - 3 x + x - 3) = 5$

Etapa 1.3.2

Some $- 3 x$ e $x$ .

$\log_{2} (x^{2} - 2 x - 3) = 5$

Etapa 2

Reescreva $\log_{2} (x^{2} - 2 x - 3) = 5$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$2^{5} = x^{2} - 2 x - 3$

Etapa 3

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Reescreva a equação como $x^{2} - 2 x - 3 = 2^{5}$ .

$x^{2} - 2 x - 3 = 2^{5}$

Etapa 3.2

Eleve $2$ à potência de $5$ .

$x^{2} - 2 x - 3 = 32$

Etapa 3.3

Subtraia $32$ dos dois lados da equação.

$x^{2} - 2 x - 3 - 32 = 0$

Etapa 3.4

Subtraia $32$ de $- 3$ .

$x^{2} - 2 x - 35 = 0$

Etapa 3.5

Fatore $x^{2} - 2 x - 35$ usando o método AC.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 35$ e cuja soma é $- 2$ .

$- 7, 5$

Etapa 3.5.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(x - 7) (x + 5) = 0$

Etapa 3.6

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 7 = 0$

$x + 5 = 0$

Etapa 3.7

Defina $x - 7$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.1

Defina $x - 7$ como igual a $0$ .

$x - 7 = 0$

Etapa 3.7.2

Some $7$ aos dois lados da equação.

$x = 7$

Etapa 3.8

Defina $x + 5$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.1

Defina $x + 5$ como igual a $0$ .

$x + 5 = 0$

Etapa 3.8.2

Subtraia $5$ dos dois lados da equação.

$x = - 5$

Etapa 3.9

A solução final são todos os valores que tornam $(x - 7) (x + 5) = 0$ verdadeiro.

$x = 7, - 5$

Etapa 4

Exclua as soluções que não tornam $\log_{2} (x + 1) + \log_{2} (x - 3) = 5$ verdadeira.

$x = 7$