Cálculo Exemplos

$\frac{x}{x - 6} - \frac{1}{2} = \frac{x}{6} + \frac{x + 6}{6 - x}$

Etapa 1

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 1.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$x - 6, 2, 6, 6 - x$

Etapa 1.2

O MMC é o menor número positivo pelo qual todos os números se dividem uniformemente.

1. Liste os fatores primos de cada número.

2. Multiplique cada fator pelo maior número de vezes em que ele ocorre em cada número.

Etapa 1.3

O número $1$ não é primo porque tem apenas um fator positivo, que é ele mesmo.

Não é primo

Etapa 1.4

Como $2$ não tem fatores além de $1$ e $2$ .

$2$ é um número primo

Etapa 1.5

$6$ tem fatores de $2$ e $3$ .

$2 \cdot 3$

Etapa 1.6

O número $1$ não é primo porque tem apenas um fator positivo, que é ele mesmo.

Não é primo

Etapa 1.7

O MMC de $1, 2, 6, 1$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores primos pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos números.

$2 \cdot 3$

Etapa 1.8

Multiplique $2$ por $3$ .

$6$

Etapa 1.9

O fator de $x - 6$ é o próprio $x - 6$ .

$(x - 6) = x - 6$

$(x - 6)$ ocorre $1$ vez.

Etapa 1.10

O fator de $6 - x$ é o próprio $6 - x$ .

$(6 - x) = 6 - x$

$(6 - x)$ ocorre $1$ vez.

Etapa 1.11

O MMC de $x - 6, 6 - x$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos termos.

$(x - 6) (6 - x)$

Etapa 1.12

O mínimo múltiplo comum $LCM$ de alguns números é o menor número do qual os números são fatores.

$6 (x - 6) (6 - x)$

Etapa 2

Multiplique cada termo em $\frac{x}{x - 6} - \frac{1}{2} = \frac{x}{6} + \frac{x + 6}{6 - x}$ por $6 (x - 6) (6 - x)$ para eliminar as frações.

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Etapa 2.1

Multiplique cada termo em $\frac{x}{x - 6} - \frac{1}{2} = \frac{x}{6} + \frac{x + 6}{6 - x}$ por $6 (x - 6) (6 - x)$ .

$\frac{x}{x - 6} (6 (x - 6) (6 - x)) - \frac{1}{2} (6 (x - 6) (6 - x)) = \frac{x}{6} (6 (x - 6) (6 - x)) + \frac{x + 6}{6 - x} (6 (x - 6) (6 - x))$

Etapa 2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.2.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$6 \frac{x}{x - 6} ((x - 6) (6 - x)) - \frac{1}{2} (6 (x - 6) (6 - x)) = \frac{x}{6} (6 (x - 6) (6 - x)) + \frac{x + 6}{6 - x} (6 (x - 6) (6 - x))$

Etapa 2.2.1.2

Combine $6$ e $\frac{x}{x - 6}$ .

$\frac{6 x}{x - 6} ((x - 6) (6 - x)) - \frac{1}{2} (6 (x - 6) (6 - x)) = \frac{x}{6} (6 (x - 6) (6 - x)) + \frac{x + 6}{6 - x} (6 (x - 6) (6 - x))$

Etapa 2.2.1.3

Cancele o fator comum de $x - 6$ .

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Etapa 2.2.1.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{6 x}{x - 6} ((x - 6) (6 - x)) - \frac{1}{2} (6 (x - 6) (6 - x)) = \frac{x}{6} (6 (x - 6) (6 - x)) + \frac{x + 6}{6 - x} (6 (x - 6) (6 - x))$

Etapa 2.2.1.3.2

Reescreva a expressão.

$6 x (6 - x) - \frac{1}{2} (6 (x - 6) (6 - x)) = \frac{x}{6} (6 (x - 6) (6 - x)) + \frac{x + 6}{6 - x} (6 (x - 6) (6 - x))$

Etapa 2.2.1.4

Aplique a propriedade distributiva.

$6 x \cdot 6 + 6 x (- x) - \frac{1}{2} (6 (x - 6) (6 - x)) = \frac{x}{6} (6 (x - 6) (6 - x)) + \frac{x + 6}{6 - x} (6 (x - 6) (6 - x))$

Etapa 2.2.1.5

Multiplique $6$ por $6$ .

$36 x + 6 x (- x) - \frac{1}{2} (6 (x - 6) (6 - x)) = \frac{x}{6} (6 (x - 6) (6 - x)) + \frac{x + 6}{6 - x} (6 (x - 6) (6 - x))$

Etapa 2.2.1.6

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$36 x + 6 \cdot - 1 x \cdot x - \frac{1}{2} (6 (x - 6) (6 - x)) = \frac{x}{6} (6 (x - 6) (6 - x)) + \frac{x + 6}{6 - x} (6 (x - 6) (6 - x))$

Etapa 2.2.1.7

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.2.1.7.1

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 2.2.1.7.1.1

Mova $x$ .

$36 x + 6 \cdot - 1 (x \cdot x) - \frac{1}{2} (6 (x - 6) (6 - x)) = \frac{x}{6} (6 (x - 6) (6 - x)) + \frac{x + 6}{6 - x} (6 (x - 6) (6 - x))$

Etapa 2.2.1.7.1.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$36 x + 6 \cdot - 1 x^{2} - \frac{1}{2} (6 (x - 6) (6 - x)) = \frac{x}{6} (6 (x - 6) (6 - x)) + \frac{x + 6}{6 - x} (6 (x - 6) (6 - x))$

Etapa 2.2.1.7.2

Multiplique $6$ por $- 1$ .

$36 x - 6 x^{2} - \frac{1}{2} (6 (x - 6) (6 - x)) = \frac{x}{6} (6 (x - 6) (6 - x)) + \frac{x + 6}{6 - x} (6 (x - 6) (6 - x))$

Etapa 2.2.1.8

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.2.1.8.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{2}$ para o numerador.

$36 x - 6 x^{2} + \frac{- 1}{2} (6 (x - 6) (6 - x)) = \frac{x}{6} (6 (x - 6) (6 - x)) + \frac{x + 6}{6 - x} (6 (x - 6) (6 - x))$

Etapa 2.2.1.8.2

Fatore $2$ de $6 (x - 6) (6 - x)$ .

$36 x - 6 x^{2} + \frac{- 1}{2} (2 (3 (x - 6) (6 - x))) = \frac{x}{6} (6 (x - 6) (6 - x)) + \frac{x + 6}{6 - x} (6 (x - 6) (6 - x))$

Etapa 2.2.1.8.3

Cancele o fator comum.

$36 x - 6 x^{2} + \frac{- 1}{2} (2 (3 (x - 6) (6 - x))) = \frac{x}{6} (6 (x - 6) (6 - x)) + \frac{x + 6}{6 - x} (6 (x - 6) (6 - x))$

Etapa 2.2.1.8.4

Reescreva a expressão.

$36 x - 6 x^{2} - (3 (x - 6) (6 - x)) = \frac{x}{6} (6 (x - 6) (6 - x)) + \frac{x + 6}{6 - x} (6 (x - 6) (6 - x))$

Etapa 2.2.1.9

Fatore $- 1$ de $x$ .

$36 x - 6 x^{2} - (3 (- 1 (- x) - 6) (6 - x)) = \frac{x}{6} (6 (x - 6) (6 - x)) + \frac{x + 6}{6 - x} (6 (x - 6) (6 - x))$

Etapa 2.2.1.10

Reescreva $- 6$ como $- 1 (6)$ .

$36 x - 6 x^{2} - (3 (- 1 (- x) - 1 (6)) (6 - x)) = \frac{x}{6} (6 (x - 6) (6 - x)) + \frac{x + 6}{6 - x} (6 (x - 6) (6 - x))$

Etapa 2.2.1.11

Fatore $- 1$ de $- 1 (- x) - 1 (6)$ .

$36 x - 6 x^{2} - (3 (- 1 (- x + 6)) (6 - x)) = \frac{x}{6} (6 (x - 6) (6 - x)) + \frac{x + 6}{6 - x} (6 (x - 6) (6 - x))$

Etapa 2.2.1.12

Reordene os termos.

$36 x - 6 x^{2} - (3 \cdot - 1 (- x + 6) (- x + 6)) = \frac{x}{6} (6 (x - 6) (6 - x)) + \frac{x + 6}{6 - x} (6 (x - 6) (6 - x))$

Etapa 2.2.1.13

Eleve $- x + 6$ à potência de $1$ .

$36 x - 6 x^{2} - (3 \cdot - 1 ({(- x + 6)}^{1} (- x + 6))) = \frac{x}{6} (6 (x - 6) (6 - x)) + \frac{x + 6}{6 - x} (6 (x - 6) (6 - x))$

Etapa 2.2.1.14

Eleve $- x + 6$ à potência de $1$ .

$36 x - 6 x^{2} - (3 \cdot - 1 ({(- x + 6)}^{1} {(- x + 6)}^{1})) = \frac{x}{6} (6 (x - 6) (6 - x)) + \frac{x + 6}{6 - x} (6 (x - 6) (6 - x))$

Etapa 2.2.1.15

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$36 x - 6 x^{2} - (3 \cdot - 1 {(- x + 6)}^{1 + 1}) = \frac{x}{6} (6 (x - 6) (6 - x)) + \frac{x + 6}{6 - x} (6 (x - 6) (6 - x))$

Etapa 2.2.1.16

Some $1$ e $1$ .

$36 x - 6 x^{2} - (3 \cdot - 1 {(- x + 6)}^{2}) = \frac{x}{6} (6 (x - 6) (6 - x)) + \frac{x + 6}{6 - x} (6 (x - 6) (6 - x))$

Etapa 2.2.1.17

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$36 x - 6 x^{2} - (- 3 {(- x + 6)}^{2}) = \frac{x}{6} (6 (x - 6) (6 - x)) + \frac{x + 6}{6 - x} (6 (x - 6) (6 - x))$

Etapa 2.2.1.18

Multiplique $- 3$ por $- 1$ .

$36 x - 6 x^{2} + 3 {(- x + 6)}^{2} = \frac{x}{6} (6 (x - 6) (6 - x)) + \frac{x + 6}{6 - x} (6 (x - 6) (6 - x))$

Etapa 2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.3.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$36 x - 6 x^{2} + 3 {(- x + 6)}^{2} = 6 \frac{x}{6} ((x - 6) (6 - x)) + \frac{x + 6}{6 - x} (6 (x - 6) (6 - x))$

Etapa 2.3.1.2

Cancele o fator comum de $6$ .

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Etapa 2.3.1.2.1

Cancele o fator comum.

$36 x - 6 x^{2} + 3 {(- x + 6)}^{2} = 6 \frac{x}{6} ((x - 6) (6 - x)) + \frac{x + 6}{6 - x} (6 (x - 6) (6 - x))$

Etapa 2.3.1.2.2

Reescreva a expressão.

$36 x - 6 x^{2} + 3 {(- x + 6)}^{2} = x ((x - 6) (6 - x)) + \frac{x + 6}{6 - x} (6 (x - 6) (6 - x))$

Etapa 2.3.1.3

Expanda $(x - 6) (6 - x)$ usando o método FOIL.

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Etapa 2.3.1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$36 x - 6 x^{2} + 3 {(- x + 6)}^{2} = x (x (6 - x) - 6 (6 - x)) + \frac{x + 6}{6 - x} (6 (x - 6) (6 - x))$

Etapa 2.3.1.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$36 x - 6 x^{2} + 3 {(- x + 6)}^{2} = x (x \cdot 6 + x (- x) - 6 (6 - x)) + \frac{x + 6}{6 - x} (6 (x - 6) (6 - x))$

Etapa 2.3.1.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$36 x - 6 x^{2} + 3 {(- x + 6)}^{2} = x (x \cdot 6 + x (- x) - 6 \cdot 6 - 6 (- x)) + \frac{x + 6}{6 - x} (6 (x - 6) (6 - x))$

Etapa 2.3.1.4

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 2.3.1.4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.3.1.4.1.1

Mova $6$ para a esquerda de $x$ .

$36 x - 6 x^{2} + 3 {(- x + 6)}^{2} = x (6 \cdot x + x (- x) - 6 \cdot 6 - 6 (- x)) + \frac{x + 6}{6 - x} (6 (x - 6) (6 - x))$

Etapa 2.3.1.4.1.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$36 x - 6 x^{2} + 3 {(- x + 6)}^{2} = x (6 x - x \cdot x - 6 \cdot 6 - 6 (- x)) + \frac{x + 6}{6 - x} (6 (x - 6) (6 - x))$

Etapa 2.3.1.4.1.3

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.4.1.3.1

Mova $x$ .

$36 x - 6 x^{2} + 3 {(- x + 6)}^{2} = x (6 x - (x \cdot x) - 6 \cdot 6 - 6 (- x)) + \frac{x + 6}{6 - x} (6 (x - 6) (6 - x))$

Etapa 2.3.1.4.1.3.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$36 x - 6 x^{2} + 3 {(- x + 6)}^{2} = x (6 x - x^{2} - 6 \cdot 6 - 6 (- x)) + \frac{x + 6}{6 - x} (6 (x - 6) (6 - x))$

Etapa 2.3.1.4.1.4

Multiplique $- 6$ por $6$ .

$36 x - 6 x^{2} + 3 {(- x + 6)}^{2} = x (6 x - x^{2} - 36 - 6 (- x)) + \frac{x + 6}{6 - x} (6 (x - 6) (6 - x))$

Etapa 2.3.1.4.1.5

Multiplique $- 1$ por $- 6$ .

$36 x - 6 x^{2} + 3 {(- x + 6)}^{2} = x (6 x - x^{2} - 36 + 6 x) + \frac{x + 6}{6 - x} (6 (x - 6) (6 - x))$

Etapa 2.3.1.4.2

Some $6 x$ e $6 x$ .

$36 x - 6 x^{2} + 3 {(- x + 6)}^{2} = x (12 x - x^{2} - 36) + \frac{x + 6}{6 - x} (6 (x - 6) (6 - x))$

Etapa 2.3.1.5

Aplique a propriedade distributiva.

$36 x - 6 x^{2} + 3 {(- x + 6)}^{2} = x (12 x) + x (- x^{2}) + x \cdot - 36 + \frac{x + 6}{6 - x} (6 (x - 6) (6 - x))$

Etapa 2.3.1.6

Simplifique.

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Etapa 2.3.1.6.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$36 x - 6 x^{2} + 3 {(- x + 6)}^{2} = 12 x \cdot x + x (- x^{2}) + x \cdot - 36 + \frac{x + 6}{6 - x} (6 (x - 6) (6 - x))$

Etapa 2.3.1.6.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$36 x - 6 x^{2} + 3 {(- x + 6)}^{2} = 12 x \cdot x - x \cdot x^{2} + x \cdot - 36 + \frac{x + 6}{6 - x} (6 (x - 6) (6 - x))$

Etapa 2.3.1.6.3

Mova $- 36$ para a esquerda de $x$ .

$36 x - 6 x^{2} + 3 {(- x + 6)}^{2} = 12 x \cdot x - x \cdot x^{2} - 36 \cdot x + \frac{x + 6}{6 - x} (6 (x - 6) (6 - x))$

Etapa 2.3.1.7

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.7.1

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.7.1.1

Mova $x$ .

$36 x - 6 x^{2} + 3 {(- x + 6)}^{2} = 12 (x \cdot x) - x \cdot x^{2} - 36 \cdot x + \frac{x + 6}{6 - x} (6 (x - 6) (6 - x))$

Etapa 2.3.1.7.1.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$36 x - 6 x^{2} + 3 {(- x + 6)}^{2} = 12 x^{2} - x \cdot x^{2} - 36 \cdot x + \frac{x + 6}{6 - x} (6 (x - 6) (6 - x))$

Etapa 2.3.1.7.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 2.3.1.7.2.1

Mova $x^{2}$ .

$36 x - 6 x^{2} + 3 {(- x + 6)}^{2} = 12 x^{2} - (x^{2} x) - 36 \cdot x + \frac{x + 6}{6 - x} (6 (x - 6) (6 - x))$

Etapa 2.3.1.7.2.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

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Etapa 2.3.1.7.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$36 x - 6 x^{2} + 3 {(- x + 6)}^{2} = 12 x^{2} - (x^{2} x^{1}) - 36 \cdot x + \frac{x + 6}{6 - x} (6 (x - 6) (6 - x))$

Etapa 2.3.1.7.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$36 x - 6 x^{2} + 3 {(- x + 6)}^{2} = 12 x^{2} - x^{2 + 1} - 36 \cdot x + \frac{x + 6}{6 - x} (6 (x - 6) (6 - x))$

Etapa 2.3.1.7.2.3

Some $2$ e $1$ .

$36 x - 6 x^{2} + 3 {(- x + 6)}^{2} = 12 x^{2} - x^{3} - 36 \cdot x + \frac{x + 6}{6 - x} (6 (x - 6) (6 - x))$

$36 x - 6 x^{2} + 3 {(- x + 6)}^{2} = 12 x^{2} - x^{3} - 36 x + \frac{x + 6}{6 - x} (6 (x - 6) (6 - x))$

Etapa 2.3.1.8

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$36 x - 6 x^{2} + 3 {(- x + 6)}^{2} = 12 x^{2} - x^{3} - 36 x + 6 \frac{x + 6}{6 - x} ((x - 6) (6 - x))$

Etapa 2.3.1.9

Combine $6$ e $\frac{x + 6}{6 - x}$ .

$36 x - 6 x^{2} + 3 {(- x + 6)}^{2} = 12 x^{2} - x^{3} - 36 x + \frac{6 (x + 6)}{6 - x} ((x - 6) (6 - x))$

Etapa 2.3.1.10

Cancele o fator comum de $6 - x$ .

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Etapa 2.3.1.10.1

Fatore $6 - x$ de $(x - 6) (6 - x)$ .

$36 x - 6 x^{2} + 3 {(- x + 6)}^{2} = 12 x^{2} - x^{3} - 36 x + \frac{6 (x + 6)}{6 - x} ((6 - x) (x - 6))$

Etapa 2.3.1.10.2

Cancele o fator comum.

$36 x - 6 x^{2} + 3 {(- x + 6)}^{2} = 12 x^{2} - x^{3} - 36 x + \frac{6 (x + 6)}{6 - x} ((6 - x) (x - 6))$

Etapa 2.3.1.10.3

Reescreva a expressão.

$36 x - 6 x^{2} + 3 {(- x + 6)}^{2} = 12 x^{2} - x^{3} - 36 x + 6 (x + 6) (x - 6)$

Etapa 2.3.1.11

Aplique a propriedade distributiva.

$36 x - 6 x^{2} + 3 {(- x + 6)}^{2} = 12 x^{2} - x^{3} - 36 x + (6 x + 6 \cdot 6) (x - 6)$

Etapa 2.3.1.12

Multiplique $6$ por $6$ .

$36 x - 6 x^{2} + 3 {(- x + 6)}^{2} = 12 x^{2} - x^{3} - 36 x + (6 x + 36) (x - 6)$

Etapa 2.3.1.13

Expanda $(6 x + 36) (x - 6)$ usando o método FOIL.

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Etapa 2.3.1.13.1

Aplique a propriedade distributiva.

$36 x - 6 x^{2} + 3 {(- x + 6)}^{2} = 12 x^{2} - x^{3} - 36 x + 6 x (x - 6) + 36 (x - 6)$

Etapa 2.3.1.13.2

Aplique a propriedade distributiva.

$36 x - 6 x^{2} + 3 {(- x + 6)}^{2} = 12 x^{2} - x^{3} - 36 x + 6 x \cdot x + 6 x \cdot - 6 + 36 (x - 6)$

Etapa 2.3.1.13.3

Aplique a propriedade distributiva.

$36 x - 6 x^{2} + 3 {(- x + 6)}^{2} = 12 x^{2} - x^{3} - 36 x + 6 x \cdot x + 6 x \cdot - 6 + 36 x + 36 \cdot - 6$

Etapa 2.3.1.14

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 2.3.1.14.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.3.1.14.1.1

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.14.1.1.1

Mova $x$ .

$36 x - 6 x^{2} + 3 {(- x + 6)}^{2} = 12 x^{2} - x^{3} - 36 x + 6 (x \cdot x) + 6 x \cdot - 6 + 36 x + 36 \cdot - 6$

Etapa 2.3.1.14.1.1.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$36 x - 6 x^{2} + 3 {(- x + 6)}^{2} = 12 x^{2} - x^{3} - 36 x + 6 x^{2} + 6 x \cdot - 6 + 36 x + 36 \cdot - 6$

Etapa 2.3.1.14.1.2

Multiplique $- 6$ por $6$ .

$36 x - 6 x^{2} + 3 {(- x + 6)}^{2} = 12 x^{2} - x^{3} - 36 x + 6 x^{2} - 36 x + 36 x + 36 \cdot - 6$

Etapa 2.3.1.14.1.3

Multiplique $36$ por $- 6$ .

$36 x - 6 x^{2} + 3 {(- x + 6)}^{2} = 12 x^{2} - x^{3} - 36 x + 6 x^{2} - 36 x + 36 x - 216$

Etapa 2.3.1.14.2

Some $- 36 x$ e $36 x$ .

$36 x - 6 x^{2} + 3 {(- x + 6)}^{2} = 12 x^{2} - x^{3} - 36 x + 6 x^{2} + 0 - 216$

Etapa 2.3.1.14.3

Some $6 x^{2}$ e $0$ .

$36 x - 6 x^{2} + 3 {(- x + 6)}^{2} = 12 x^{2} - x^{3} - 36 x + 6 x^{2} - 216$

Etapa 2.3.2

Some $12 x^{2}$ e $6 x^{2}$ .

$36 x - 6 x^{2} + 3 {(- x + 6)}^{2} = 18 x^{2} - x^{3} - 36 x - 216$

Etapa 3

Resolva a equação.

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Etapa 3.1

Mova todos os termos que contêm $x$ para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 3.1.1

Subtraia $18 x^{2}$ dos dois lados da equação.

$36 x - 6 x^{2} + 3 {(- x + 6)}^{2} - 18 x^{2} = - x^{3} - 36 x - 216$

Etapa 3.1.2

Some $x^{3}$ aos dois lados da equação.

$36 x - 6 x^{2} + 3 {(- x + 6)}^{2} - 18 x^{2} + x^{3} = - 36 x - 216$

Etapa 3.1.3

Some $36 x$ aos dois lados da equação.

$36 x - 6 x^{2} + 3 {(- x + 6)}^{2} - 18 x^{2} + x^{3} + 36 x = - 216$

Etapa 3.1.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.1.4.1

Reescreva ${(- x + 6)}^{2}$ como $(- x + 6) (- x + 6)$ .

$36 x - 6 x^{2} + 3 ((- x + 6) (- x + 6)) - 18 x^{2} + x^{3} + 36 x = - 216$

Etapa 3.1.4.2

Expanda $(- x + 6) (- x + 6)$ usando o método FOIL.

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Etapa 3.1.4.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$36 x - 6 x^{2} + 3 (- x (- x + 6) + 6 (- x + 6)) - 18 x^{2} + x^{3} + 36 x = - 216$

Etapa 3.1.4.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$36 x - 6 x^{2} + 3 (- x (- x) - x \cdot 6 + 6 (- x + 6)) - 18 x^{2} + x^{3} + 36 x = - 216$

Etapa 3.1.4.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$36 x - 6 x^{2} + 3 (- x (- x) - x \cdot 6 + 6 (- x) + 6 \cdot 6) - 18 x^{2} + x^{3} + 36 x = - 216$

Etapa 3.1.4.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 3.1.4.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.1.4.3.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$36 x - 6 x^{2} + 3 (- 1 \cdot - 1 x \cdot x - x \cdot 6 + 6 (- x) + 6 \cdot 6) - 18 x^{2} + x^{3} + 36 x = - 216$

Etapa 3.1.4.3.1.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 3.1.4.3.1.2.1

Mova $x$ .

$36 x - 6 x^{2} + 3 (- 1 \cdot - 1 (x \cdot x) - x \cdot 6 + 6 (- x) + 6 \cdot 6) - 18 x^{2} + x^{3} + 36 x = - 216$

Etapa 3.1.4.3.1.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$36 x - 6 x^{2} + 3 (- 1 \cdot - 1 x^{2} - x \cdot 6 + 6 (- x) + 6 \cdot 6) - 18 x^{2} + x^{3} + 36 x = - 216$

Etapa 3.1.4.3.1.3

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$36 x - 6 x^{2} + 3 (1 x^{2} - x \cdot 6 + 6 (- x) + 6 \cdot 6) - 18 x^{2} + x^{3} + 36 x = - 216$

Etapa 3.1.4.3.1.4

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$36 x - 6 x^{2} + 3 (x^{2} - x \cdot 6 + 6 (- x) + 6 \cdot 6) - 18 x^{2} + x^{3} + 36 x = - 216$

Etapa 3.1.4.3.1.5

Multiplique $6$ por $- 1$ .

$36 x - 6 x^{2} + 3 (x^{2} - 6 x + 6 (- x) + 6 \cdot 6) - 18 x^{2} + x^{3} + 36 x = - 216$

Etapa 3.1.4.3.1.6

Multiplique $- 1$ por $6$ .

$36 x - 6 x^{2} + 3 (x^{2} - 6 x - 6 x + 6 \cdot 6) - 18 x^{2} + x^{3} + 36 x = - 216$

Etapa 3.1.4.3.1.7

Multiplique $6$ por $6$ .

$36 x - 6 x^{2} + 3 (x^{2} - 6 x - 6 x + 36) - 18 x^{2} + x^{3} + 36 x = - 216$

Etapa 3.1.4.3.2

Subtraia $6 x$ de $- 6 x$ .

$36 x - 6 x^{2} + 3 (x^{2} - 12 x + 36) - 18 x^{2} + x^{3} + 36 x = - 216$

Etapa 3.1.4.4

Aplique a propriedade distributiva.

$36 x - 6 x^{2} + 3 x^{2} + 3 (- 12 x) + 3 \cdot 36 - 18 x^{2} + x^{3} + 36 x = - 216$

Etapa 3.1.4.5

Simplifique.

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Etapa 3.1.4.5.1

Multiplique $- 12$ por $3$ .

$36 x - 6 x^{2} + 3 x^{2} - 36 x + 3 \cdot 36 - 18 x^{2} + x^{3} + 36 x = - 216$

Etapa 3.1.4.5.2

Multiplique $3$ por $36$ .

$36 x - 6 x^{2} + 3 x^{2} - 36 x + 108 - 18 x^{2} + x^{3} + 36 x = - 216$

Etapa 3.1.5

Combine os termos opostos em $36 x - 6 x^{2} + 3 x^{2} - 36 x + 108 - 18 x^{2} + x^{3} + 36 x$ .

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Etapa 3.1.5.1

Subtraia $36 x$ de $36 x$ .

$- 6 x^{2} + 3 x^{2} + 0 + 108 - 18 x^{2} + x^{3} + 36 x = - 216$

Etapa 3.1.5.2

Some $- 6 x^{2} + 3 x^{2}$ e $0$ .

$- 6 x^{2} + 3 x^{2} + 108 - 18 x^{2} + x^{3} + 36 x = - 216$

Etapa 3.1.6

Some $- 6 x^{2}$ e $3 x^{2}$ .

$- 3 x^{2} + 108 - 18 x^{2} + x^{3} + 36 x = - 216$

Etapa 3.1.7

Subtraia $18 x^{2}$ de $- 3 x^{2}$ .

$- 21 x^{2} + 108 + x^{3} + 36 x = - 216$

Etapa 3.2

Some $216$ aos dois lados da equação.

$- 21 x^{2} + 108 + x^{3} + 36 x + 216 = 0$

Etapa 3.3

Some $108$ e $216$ .

$- 21 x^{2} + x^{3} + 36 x + 324 = 0$

Etapa 3.4

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 3.4.1

Reordene os termos.

$x^{3} - 21 x^{2} + 36 x + 324 = 0$

Etapa 3.4.2

Fatore $x^{3} - 21 x^{2} + 36 x + 324$ usando o teste das raízes racionais.

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Etapa 3.4.2.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 324, \pm 2, \pm 162, \pm 3, \pm 108, \pm 4, \pm 81, \pm 6, \pm 54, \pm 9, \pm 36, \pm 12, \pm 27, \pm 18$

$q = \pm 1$

Etapa 3.4.2.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 324, \pm 2, \pm 162, \pm 3, \pm 108, \pm 4, \pm 81, \pm 6, \pm 54, \pm 9, \pm 36, \pm 12, \pm 27, \pm 18$

Etapa 3.4.2.3

Substitua $- 3$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $- 3$ é uma raiz do polinômio.

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Etapa 3.4.2.3.1

Substitua $- 3$ no polinômio.

${(- 3)}^{3} - 21 {(- 3)}^{2} + 36 \cdot - 3 + 324$

Etapa 3.4.2.3.2

Eleve $- 3$ à potência de $3$ .

$- 27 - 21 {(- 3)}^{2} + 36 \cdot - 3 + 324$

Etapa 3.4.2.3.3

Eleve $- 3$ à potência de $2$ .

$- 27 - 21 \cdot 9 + 36 \cdot - 3 + 324$

Etapa 3.4.2.3.4

Multiplique $- 21$ por $9$ .

$- 27 - 189 + 36 \cdot - 3 + 324$

Etapa 3.4.2.3.5

Subtraia $189$ de $- 27$ .

$- 216 + 36 \cdot - 3 + 324$

Etapa 3.4.2.3.6

Multiplique $36$ por $- 3$ .

$- 216 - 108 + 324$

Etapa 3.4.2.3.7

Subtraia $108$ de $- 216$ .

$- 324 + 324$

Etapa 3.4.2.3.8

Some $- 324$ e $324$ .

$0$

Etapa 3.4.2.4

Como $- 3$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x + 3$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{x^{3} - 21 x^{2} + 36 x + 324}{x + 3}$

Etapa 3.4.2.5

Divida $x^{3} - 21 x^{2} + 36 x + 324$ por $x + 3$ .

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Etapa 3.4.2.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$3$

$x^{3}$

$21 x^{2}$

$36 x$

$324$

Etapa 3.4.2.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$3$		$x^{3}$	-	$21 x^{2}$	+	$36 x$	+	$324$

Etapa 3.4.2.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	-	$21 x^{2}$	+	$36 x$	+	$324$
			+	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$

Etapa 3.4.2.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x^{3} + 3 x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	-	$21 x^{2}$	+	$36 x$	+	$324$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$

Etapa 3.4.2.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	-	$21 x^{2}$	+	$36 x$	+	$324$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$24 x^{2}$

Etapa 3.4.2.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$x^{2}$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	-	$21 x^{2}$	+	$36 x$	+	$324$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$24 x^{2}$	+	$36 x$

Etapa 3.4.2.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 24 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$24 x$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	-	$21 x^{2}$	+	$36 x$	+	$324$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$24 x^{2}$	+	$36 x$

Etapa 3.4.2.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$	-	$24 x$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	-	$21 x^{2}$	+	$36 x$	+	$324$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$24 x^{2}$	+	$36 x$
					-	$24 x^{2}$	-	$72 x$

Etapa 3.4.2.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 24 x^{2} - 72 x$ .

				$x^{2}$	-	$24 x$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	-	$21 x^{2}$	+	$36 x$	+	$324$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$24 x^{2}$	+	$36 x$
					+	$24 x^{2}$	+	$72 x$

Etapa 3.4.2.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$	-	$24 x$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	-	$21 x^{2}$	+	$36 x$	+	$324$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$24 x^{2}$	+	$36 x$
					+	$24 x^{2}$	+	$72 x$
							+	$108 x$

Etapa 3.4.2.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$x^{2}$	-	$24 x$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	-	$21 x^{2}$	+	$36 x$	+	$324$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$24 x^{2}$	+	$36 x$
					+	$24 x^{2}$	+	$72 x$
							+	$108 x$	+	$324$

Etapa 3.4.2.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $108 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$24 x$	+	$108$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	-	$21 x^{2}$	+	$36 x$	+	$324$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$24 x^{2}$	+	$36 x$
					+	$24 x^{2}$	+	$72 x$
							+	$108 x$	+	$324$

Etapa 3.4.2.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$	-	$24 x$	+	$108$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	-	$21 x^{2}$	+	$36 x$	+	$324$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$24 x^{2}$	+	$36 x$
					+	$24 x^{2}$	+	$72 x$
							+	$108 x$	+	$324$
							+	$108 x$	+	$324$

Etapa 3.4.2.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $108 x + 324$ .

				$x^{2}$	-	$24 x$	+	$108$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	-	$21 x^{2}$	+	$36 x$	+	$324$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$24 x^{2}$	+	$36 x$
					+	$24 x^{2}$	+	$72 x$
							+	$108 x$	+	$324$
							-	$108 x$	-	$324$

Etapa 3.4.2.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$	-	$24 x$	+	$108$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	-	$21 x^{2}$	+	$36 x$	+	$324$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$24 x^{2}$	+	$36 x$
					+	$24 x^{2}$	+	$72 x$
							+	$108 x$	+	$324$
							-	$108 x$	-	$324$
										$0$

Etapa 3.4.2.5.16

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$x^{2} - 24 x + 108$

Etapa 3.4.2.6

Escreva $x^{3} - 21 x^{2} + 36 x + 324$ como um conjunto de fatores.

$(x + 3) (x^{2} - 24 x + 108) = 0$

Etapa 3.4.3

Fatore.

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Etapa 3.4.3.1

Fatore $x^{2} - 24 x + 108$ usando o método AC.

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Etapa 3.4.3.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $108$ e cuja soma é $- 24$ .

$- 18, - 6$

Etapa 3.4.3.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(x + 3) ((x - 18) (x - 6)) = 0$

Etapa 3.4.3.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(x + 3) (x - 18) (x - 6) = 0$

Etapa 3.5

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

$x - 18 = 0$

$x - 6 = 0$

Etapa 3.6

Defina $x + 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 3.6.1

Defina $x + 3$ como igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

Etapa 3.6.2

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$x = - 3$

Etapa 3.7

Defina $x - 18$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 3.7.1

Defina $x - 18$ como igual a $0$ .

$x - 18 = 0$

Etapa 3.7.2

Some $18$ aos dois lados da equação.

$x = 18$

Etapa 3.8

Defina $x - 6$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 3.8.1

Defina $x - 6$ como igual a $0$ .

$x - 6 = 0$

Etapa 3.8.2

Some $6$ aos dois lados da equação.

$x = 6$

Etapa 3.9

A solução final são todos os valores que tornam $(x + 3) (x - 18) (x - 6) = 0$ verdadeiro.

$x = - 3, 18, 6$

Etapa 4

Exclua as soluções que não tornam $\frac{x}{x - 6} - \frac{1}{2} = \frac{x}{6} + \frac{x + 6}{6 - x}$ verdadeira.

$x = - 3, 18$