Cálculo Exemplos

$\sec^{2} (x) + \tan (x) - 3 = 0$

Etapa 1

Substitua $\sec^{2} (x)$ por $1 + \tan^{2} (x)$ com base na identidade $\tan^{2} (x) + 1 = \sec^{2} (x)$ .

$(1 + \tan^{2} (x)) + \tan (x) - 3 = 0$

Etapa 2

Subtraia $3$ de $1$ .

$\tan^{2} (x) + \tan (x) - 2 = 0$

Etapa 3

Substitua $u$ por $\tan (x)$ .

${(u)}^{2} + u - 2 = 0$

Etapa 4

Fatore $u^{2} + u - 2$ usando o método AC.

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Etapa 4.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 2$ e cuja soma é $1$ .

$- 1, 2$

Etapa 4.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(u - 1) (u + 2) = 0$

Etapa 5

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$u - 1 = 0$

$u + 2 = 0$

Etapa 6

Defina $u - 1$ como igual a $0$ e resolva para $u$ .

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Etapa 6.1

Defina $u - 1$ como igual a $0$ .

$u - 1 = 0$

Etapa 6.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$u = 1$

Etapa 7

Defina $u + 2$ como igual a $0$ e resolva para $u$ .

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Etapa 7.1

Defina $u + 2$ como igual a $0$ .

$u + 2 = 0$

Etapa 7.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$u = - 2$

Etapa 8

A solução final são todos os valores que tornam $(u - 1) (u + 2) = 0$ verdadeiro.

$u = 1, - 2$

Etapa 9

Substitua $\tan (x)$ por $u$ .

$\tan (x) = 1, - 2$

Etapa 10

Estabeleça cada uma das soluções para resolver $x$ .

$\tan (x) = 1$

$\tan (x) = - 2$

Etapa 11

Resolva $x$ em $\tan (x) = 1$ .

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Etapa 11.1

Obtenha a tangente inversa dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro da tangente.

$x = \arctan (1)$

Etapa 11.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 11.2.1

O valor exato de $\arctan (1)$ é $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Etapa 11.3

A função da tangente é positiva no primeiro e no terceiro quadrantes. Para encontrar a segunda solução, some o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$x = π + \frac{π}{4}$

Etapa 11.4

Simplifique $π + \frac{π}{4}$ .

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Etapa 11.4.1

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Etapa 11.4.2

Combine frações.

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Etapa 11.4.2.1

Combine $π$ e $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Etapa 11.4.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Etapa 11.4.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 11.4.3.1

Mova $4$ para a esquerda de $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Etapa 11.4.3.2

Some $4 π$ e $π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Etapa 11.5

Encontre o período de $\tan (x)$ .

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Etapa 11.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Etapa 11.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Etapa 11.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{π}{1}$

Etapa 11.5.4

Divida $π$ por $1$ .

$π$

Etapa 11.6

O período da função $\tan (x)$ é $π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 12

Resolva $x$ em $\tan (x) = - 2$ .

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Etapa 12.1

Obtenha a tangente inversa dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro da tangente.

$x = \arctan (- 2)$

Etapa 12.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 12.2.1

Avalie $\arctan (- 2)$ .

$x = - 1.10714871$

Etapa 12.3

A função da tangente é negativa no segundo e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no terceiro quadrante.

$x = - 1.10714871 - (3.14159265)$

Etapa 12.4

Simplifique a expressão para encontrar a segunda solução.

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Etapa 12.4.1

Some $2 π$ a $- 1.10714871 - (3.14159265)$ .

$x = - 1.10714871 - (3.14159265) + 2 π$

Etapa 12.4.2

O ângulo resultante de $2.03444393$ é positivo e coterminal com $- 1.10714871 - (3.14159265)$ .

$x = 2.03444393$

Etapa 12.5

Encontre o período de $\tan (x)$ .

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Etapa 12.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Etapa 12.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Etapa 12.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{π}{1}$

Etapa 12.5.4

Divida $π$ por $1$ .

$π$

Etapa 12.6

Some $π$ com todos os ângulos negativos para obter os ângulos positivos.

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Etapa 12.6.1

Some $π$ com $- 1.10714871$ para encontrar o ângulo positivo.

$- 1.10714871 + π$

Etapa 12.6.2

Substitua pela aproximação decimal.

$3.14159265 - 1.10714871$

Etapa 12.6.3

Subtraia $1.10714871$ de $3.14159265$ .

$2.03444393$

Etapa 12.6.4

Liste os novos ângulos.

$x = 2.03444393$

Etapa 12.7

O período da função $\tan (x)$ é $π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $π$ radianos nas duas direções.

$x = 2.03444393 + π n, 2.03444393 + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 13

Liste todas as soluções.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n, 2.03444393 + π n, 2.03444393 + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 14

Consolide as soluções.

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Etapa 14.1

Consolide $\frac{π}{4} + π n$ e $\frac{5 π}{4} + π n$ em $\frac{π}{4} + π n$ .

$x = \frac{π}{4} + π n, 2.03444393 + π n, 2.03444393 + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 14.2

Consolide $2.03444393 + π n$ e $2.03444393 + π n$ em $2.03444393 + π n$ .

$x = \frac{π}{4} + π n, 2.03444393 + π n$ , para qualquer número inteiro $n$