Cálculo Exemplos

$\int (x + 1) e^{7 x^{2} + 14 x} d x$

Etapa 1

Deixe $u = 7 x^{2} + 14 x$ . Depois, $d u = (14 x + 14) d x$ , então, $\frac{1}{14} d u = (x + 1) d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = 7 x^{2} + 14 x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $7 x^{2} + 14 x$ .

$\frac{d}{d x} [7 x^{2} + 14 x]$

Etapa 1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $7 x^{2} + 14 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [14 x]$ .

$\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [14 x]$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [7 x^{2}]$ .

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Etapa 1.1.3.1

Como $7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $7 x^{2}$ em relação a $x$ é $7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$7 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [14 x]$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$7 (2 x) + \frac{d}{d x} [14 x]$

Etapa 1.1.3.3

Multiplique $2$ por $7$ .

$14 x + \frac{d}{d x} [14 x]$

Etapa 1.1.4

Avalie $\frac{d}{d x} [14 x]$ .

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Etapa 1.1.4.1

Como $14$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $14 x$ em relação a $x$ é $14 \frac{d}{d x} [x]$ .

$14 x + 14 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$14 x + 14 \cdot 1$

Etapa 1.1.4.3

Multiplique $14$ por $1$ .

$14 x + 14$

Etapa 1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int e^{u} \frac{1}{14} d u$

Etapa 2

Combine $e^{u}$ e $\frac{1}{14}$ .

$\int \frac{e^{u}}{14} d u$

Etapa 3

Como $\frac{1}{14}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{14}$ para fora da integral.

$\frac{1}{14} \int e^{u} d u$

Etapa 4

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$\frac{1}{14} (e^{u} + C)$

Etapa 5

Simplifique.

$\frac{1}{14} e^{u} + C$

Etapa 6

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $7 x^{2} + 14 x$ .

$\frac{1}{14} e^{7 x^{2} + 14 x} + C$