Cálculo Exemplos

$0 = \frac{π}{2} + π \cos (\frac{π x}{2})$

Etapa 1

Reescreva a equação como $\frac{π}{2} + π \cos (\frac{π x}{2}) = 0$ .

$\frac{π}{2} + π \cos (\frac{π x}{2}) = 0$

Etapa 2

Subtraia $\frac{π}{2}$ dos dois lados da equação.

$π \cos (\frac{π x}{2}) = - \frac{π}{2}$

Etapa 3

Divida cada termo em $π \cos (\frac{π x}{2}) = - \frac{π}{2}$ por $π$ e simplifique.

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Etapa 3.1

Divida cada termo em $π \cos (\frac{π x}{2}) = - \frac{π}{2}$ por $π$ .

$\frac{π \cos (\frac{π x}{2})}{π} = \frac{- \frac{π}{2}}{π}$

Etapa 3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.1

Cancele o fator comum de $π$ .

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Etapa 3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{π \cos (\frac{π x}{2})}{π} = \frac{- \frac{π}{2}}{π}$

Etapa 3.2.1.2

Divida $\cos (\frac{π x}{2})$ por $1$ .

$\cos (\frac{π x}{2}) = \frac{- \frac{π}{2}}{π}$

Etapa 3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\cos (\frac{π x}{2}) = - \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{π}$

Etapa 3.3.2

Cancele o fator comum de $π$ .

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Etapa 3.3.2.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{π}{2}$ para o numerador.

$\cos (\frac{π x}{2}) = \frac{- π}{2} \cdot \frac{1}{π}$

Etapa 3.3.2.2

Fatore $π$ de $- π$ .

$\cos (\frac{π x}{2}) = \frac{π \cdot - 1}{2} \cdot \frac{1}{π}$

Etapa 3.3.2.3

Cancele o fator comum.

$\cos (\frac{π x}{2}) = \frac{π \cdot - 1}{2} \cdot \frac{1}{π}$

Etapa 3.3.2.4

Reescreva a expressão.

$\cos (\frac{π x}{2}) = \frac{- 1}{2}$

Etapa 3.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\cos (\frac{π x}{2}) = - \frac{1}{2}$

Etapa 4

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do cosseno.

$\frac{π x}{2} = \arccos (- \frac{1}{2})$

Etapa 5

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.1

O valor exato de $\arccos (- \frac{1}{2})$ é $\frac{2 π}{3}$ .

$\frac{π x}{2} = \frac{2 π}{3}$

Etapa 6

Multiplique os dois lados da equação por $\frac{2}{π}$ .

$\frac{2}{π} \cdot \frac{π x}{2} = \frac{2}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$

Etapa 7

Simplifique os dois lados da equação.

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Etapa 7.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 7.1.1

Simplifique $\frac{2}{π} \cdot \frac{π x}{2}$ .

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Etapa 7.1.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 7.1.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2}{π} \cdot \frac{π x}{2} = \frac{2}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$

Etapa 7.1.1.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{2}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$

Etapa 7.1.1.2

Cancele o fator comum de $π$ .

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Etapa 7.1.1.2.1

Fatore $π$ de $π x$ .

$\frac{1}{π} (π (x)) = \frac{2}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$

Etapa 7.1.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{2}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$

Etapa 7.1.1.2.3

Reescreva a expressão.

$x = \frac{2}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$

Etapa 7.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 7.2.1

Simplifique $\frac{2}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$ .

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Etapa 7.2.1.1

Cancele o fator comum de $π$ .

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Etapa 7.2.1.1.1

Fatore $π$ de $2 π$ .

$x = \frac{2}{π} \cdot \frac{π \cdot 2}{3}$

Etapa 7.2.1.1.2

Cancele o fator comum.

$x = \frac{2}{π} \cdot \frac{π \cdot 2}{3}$

Etapa 7.2.1.1.3

Reescreva a expressão.

$x = 2 (\frac{2}{3})$

Etapa 7.2.1.2

Combine $2$ e $\frac{2}{3}$ .

$x = \frac{2 \cdot 2}{3}$

Etapa 7.2.1.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$x = \frac{4}{3}$

Etapa 8

A função do cosseno é negativa no segundo e no terceiro quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no terceiro quadrante.

$\frac{π x}{2} = 2 π - \frac{2 π}{3}$

Etapa 9

Resolva $x$ .

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Etapa 9.1

Multiplique os dois lados da equação por $\frac{2}{π}$ .

$\frac{2}{π} \cdot \frac{π x}{2} = \frac{2}{π} (2 π - \frac{2 π}{3})$

Etapa 9.2

Simplifique os dois lados da equação.

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Etapa 9.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 9.2.1.1

Simplifique $\frac{2}{π} \cdot \frac{π x}{2}$ .

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Etapa 9.2.1.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 9.2.1.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2}{π} \cdot \frac{π x}{2} = \frac{2}{π} (2 π - \frac{2 π}{3})$

Etapa 9.2.1.1.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{2}{π} (2 π - \frac{2 π}{3})$

Etapa 9.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $π$ .

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Etapa 9.2.1.1.2.1

Fatore $π$ de $π x$ .

$\frac{1}{π} (π (x)) = \frac{2}{π} (2 π - \frac{2 π}{3})$

Etapa 9.2.1.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{2}{π} (2 π - \frac{2 π}{3})$

Etapa 9.2.1.1.2.3

Reescreva a expressão.

$x = \frac{2}{π} (2 π - \frac{2 π}{3})$

Etapa 9.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 9.2.2.1

Simplifique $\frac{2}{π} (2 π - \frac{2 π}{3})$ .

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Etapa 9.2.2.1.1

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2}{π} (2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3})$

Etapa 9.2.2.1.2

Combine frações.

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Etapa 9.2.2.1.2.1

Combine $2 π$ e $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2}{π} (\frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3})$

Etapa 9.2.2.1.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{2}{π} \cdot \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

Etapa 9.2.2.1.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 9.2.2.1.3.1

Multiplique $3$ por $2$ .

$x = \frac{2}{π} \cdot \frac{6 π - 2 π}{3}$

Etapa 9.2.2.1.3.2

Subtraia $2 π$ de $6 π$ .

$x = \frac{2}{π} \cdot \frac{4 π}{3}$

Etapa 9.2.2.1.4

Simplifique os termos.

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Etapa 9.2.2.1.4.1

Cancele o fator comum de $π$ .

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Etapa 9.2.2.1.4.1.1

Fatore $π$ de $4 π$ .

$x = \frac{2}{π} \cdot \frac{π \cdot 4}{3}$

Etapa 9.2.2.1.4.1.2

Cancele o fator comum.

$x = \frac{2}{π} \cdot \frac{π \cdot 4}{3}$

Etapa 9.2.2.1.4.1.3

Reescreva a expressão.

$x = 2 (\frac{4}{3})$

Etapa 9.2.2.1.4.2

Combine $2$ e $\frac{4}{3}$ .

$x = \frac{2 \cdot 4}{3}$

Etapa 9.2.2.1.4.3

Multiplique $2$ por $4$ .

$x = \frac{8}{3}$

Etapa 10

Encontre o período de $\cos (\frac{π x}{2})$ .

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Etapa 10.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 10.2

Substitua $b$ por $\frac{π}{2}$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| \frac{π}{2} |}$

Etapa 10.3

$\frac{π}{2}$ é aproximadamente $1.57079632$ , que é positivo, então remova o valor absoluto

$\frac{2 π}{\frac{π}{2}}$

Etapa 10.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$2 π \frac{2}{π}$

Etapa 10.5

Cancele o fator comum de $π$ .

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Etapa 10.5.1

Fatore $π$ de $2 π$ .

$π \cdot 2 \frac{2}{π}$

Etapa 10.5.2

Cancele o fator comum.

$π \cdot 2 \frac{2}{π}$

Etapa 10.5.3

Reescreva a expressão.

$2 \cdot 2$

Etapa 10.6

Multiplique $2$ por $2$ .

$4$

Etapa 11

O período da função $\cos (\frac{π x}{2})$ é $4$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $4$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{4}{3} + 4 n, \frac{8}{3} + 4 n$ , para qualquer número inteiro $n$