Cálculo Exemplos

$f (x) = \sqrt{4 - x}$ , $a = 0$

Etapa 1

Considere a função usada para encontrar a linearização em $a$ .

$L (x) = f (a) + f' (a) (x - a)$

Etapa 2

Substitua o valor de $a = 0$ na função de linearização.

$L (x) = f (0) + f' (0) (x - 0)$

Etapa 3

Avalie $f (0)$ .

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Etapa 3.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f (0) = \sqrt{4 - (0)}$

Etapa 3.2

Simplifique $\sqrt{4 - (0)}$ .

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Etapa 3.2.1

Remova os parênteses.

$\sqrt{4 - (0)}$

Etapa 3.2.2

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$\sqrt{4 + 0}$

Etapa 3.2.3

Some $4$ e $0$ .

$\sqrt{4}$

Etapa 3.2.4

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\sqrt{2^{2}}$

Etapa 3.2.5

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$2$

Etapa 4

Encontre a derivada e a avalie em $0$ .

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Etapa 4.1

Encontre a derivada de $f (x) = \sqrt{4 - x}$ .

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Etapa 4.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{4 - x}$ como ${(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(4 - x)}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 4.1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 4 - x$ .

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Etapa 4.1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $4 - x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [4 - x]$

Etapa 4.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 - x]$

Etapa 4.1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $4 - x$ .

$\frac{1}{2} {(4 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 - x]$

Etapa 4.1.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(4 - x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x]$

Etapa 4.1.4

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(4 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x]$

Etapa 4.1.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{2} {(4 - x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x]$

Etapa 4.1.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.1.6.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} {(4 - x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x]$

Etapa 4.1.6.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(4 - x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x]$

Etapa 4.1.7

Combine frações.

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Etapa 4.1.7.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{2} {(4 - x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x]$

Etapa 4.1.7.2

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(4 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(4 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [4 - x]$

Etapa 4.1.7.3

Mova ${(4 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [4 - x]$

Etapa 4.1.8

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 - x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x])$

Etapa 4.1.9

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x])$

Etapa 4.1.10

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 4.1.11

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.1.12

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} (- 1 \cdot 1)$

Etapa 4.1.13

Combine frações.

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Etapa 4.1.13.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 1$

Etapa 4.1.13.2

Combine $\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ e $- 1$ .

$\frac{- 1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.1.13.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.2

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$- \frac{1}{2 {(4 - (0))}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.3

Simplifique.

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Etapa 4.3.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 4.3.1.1

Subtraia $0$ de $4$ .

$- \frac{1}{2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.3.1.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$- \frac{1}{2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.3.1.3

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})}}$

Etapa 4.3.1.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.3.1.4.1

Cancele o fator comum.

$- \frac{1}{2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})}}$

Etapa 4.3.1.4.2

Reescreva a expressão.

$- \frac{1}{2 \cdot 2^{1}}$

Etapa 4.3.1.5

Avalie o expoente.

$- \frac{1}{2 \cdot 2}$

Etapa 4.3.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$- \frac{1}{4}$

Etapa 5

Substitua os componentes na função de linearização para encontrar a linearização em $a$ .

$L (x) = 2 - \frac{1}{4} (x - 0)$

Etapa 6

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.1

Subtraia $0$ de $x$ .

$L (x) = 2 - \frac{1}{4} x$

Etapa 6.2

Combine $x$ e $\frac{1}{4}$ .

$L (x) = 2 - \frac{x}{4}$

Etapa 7