Cálculo Exemplos

$\frac{1}{1 + a e^{- k t}} = \frac{1}{2}$

Etapa 1

Multiplique os dois lados por $1 + a e^{- k t}$ .

$\frac{1}{1 + a e^{- k t}} (1 + a e^{- k t}) = \frac{1}{2} (1 + a e^{- k t})$

Etapa 2

Simplifique.

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Etapa 2.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.1.1

Cancele o fator comum de $1 + a e^{- k t}$ .

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Etapa 2.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{1 + a e^{- k t}} (1 + a e^{- k t}) = \frac{1}{2} (1 + a e^{- k t})$

Etapa 2.1.1.2

Reescreva a expressão.

$1 = \frac{1}{2} (1 + a e^{- k t})$

Etapa 2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.2.1

Simplifique $\frac{1}{2} (1 + a e^{- k t})$ .

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Etapa 2.2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$1 = \frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} (a e^{- k t})$

Etapa 2.2.1.2

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$1 = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} (a e^{- k t})$

Etapa 2.2.1.3

Multiplique $\frac{1}{2} (a e^{- k t})$ .

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Etapa 2.2.1.3.1

Combine $a$ e $\frac{1}{2}$ .

$1 = \frac{1}{2} + \frac{a}{2} e^{- k t}$

Etapa 2.2.1.3.2

Combine $\frac{a}{2}$ e $e^{- k t}$ .

$1 = \frac{1}{2} + \frac{a e^{- k t}}{2}$

Etapa 2.2.1.4

Reordene $\frac{1}{2}$ e $\frac{a e^{- k t}}{2}$ .

$1 = \frac{a e^{- k t}}{2} + \frac{1}{2}$

Etapa 3

Resolva $t$ .

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Etapa 3.1

Reescreva a equação como $\frac{a e^{- k t}}{2} + \frac{1}{2} = 1$ .

$\frac{a e^{- k t}}{2} + \frac{1}{2} = 1$

Etapa 3.2

Mova todos os termos que não contêm $t$ para o lado direito da equação.

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Etapa 3.2.1

Subtraia $\frac{1}{2}$ dos dois lados da equação.

$\frac{a e^{- k t}}{2} = 1 - \frac{1}{2}$

Etapa 3.2.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{a e^{- k t}}{2} = \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Etapa 3.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{a e^{- k t}}{2} = \frac{2 - 1}{2}$

Etapa 3.2.4

Subtraia $1$ de $2$ .

$\frac{a e^{- k t}}{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 3.3

Como a expressão em cada lado da equação tem o mesmo denominador, os numeradores devem ser iguais.

$a e^{- k t} = 1$

Etapa 3.4

Divida cada termo em $a e^{- k t} = 1$ por $a$ e simplifique.

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Etapa 3.4.1

Divida cada termo em $a e^{- k t} = 1$ por $a$ .

$\frac{a e^{- k t}}{a} = \frac{1}{a}$

Etapa 3.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.4.2.1

Cancele o fator comum de $a$ .

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Etapa 3.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{a e^{- k t}}{a} = \frac{1}{a}$

Etapa 3.4.2.1.2

Divida $e^{- k t}$ por $1$ .

$e^{- k t} = \frac{1}{a}$

Etapa 3.5

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{- k t}) = \ln (\frac{1}{a})$

Etapa 3.6

Expanda o lado esquerdo.

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Etapa 3.6.1

Expanda $\ln (e^{- k t})$ movendo $- k t$ para fora do logaritmo.

$- k t \ln (e) = \ln (\frac{1}{a})$

Etapa 3.6.2

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$- k t \cdot 1 = \ln (\frac{1}{a})$

Etapa 3.6.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- k t = \ln (\frac{1}{a})$

Etapa 3.7

Divida cada termo em $- k t = \ln (\frac{1}{a})$ por $- k$ e simplifique.

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Etapa 3.7.1

Divida cada termo em $- k t = \ln (\frac{1}{a})$ por $- k$ .

$\frac{- k t}{- k} = \frac{\ln (\frac{1}{a})}{- k}$

Etapa 3.7.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.7.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{k t}{k} = \frac{\ln (\frac{1}{a})}{- k}$

Etapa 3.7.2.2

Cancele o fator comum de $k$ .

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Etapa 3.7.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{k t}{k} = \frac{\ln (\frac{1}{a})}{- k}$

Etapa 3.7.2.2.2

Divida $t$ por $1$ .

$t = \frac{\ln (\frac{1}{a})}{- k}$

Etapa 3.7.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.7.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$t = - \frac{\ln (\frac{1}{a})}{k}$