Cálculo Exemplos

$2 \sin (x) \cos (x) - \sin (2 x) \cos (2 x) = 0$

Etapa 1

Use a fórmula do arco duplo para transformar $\cos (2 x)$ em $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$2 \sin (x) \cos (x) - \sin (2 x) (1 - 2 \sin^{2} (x)) = 0$

Etapa 2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.1

Simplifique $2 \sin (x) \cos (x) - \sin (2 x) (1 - 2 \sin^{2} (x))$ .

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Etapa 2.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1.1.1

Aplique a fórmula do arco duplo do seno.

$2 \sin (x) \cos (x) - (2 \sin (x) \cos (x)) (1 - 2 \sin^{2} (x)) = 0$

Etapa 2.1.1.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$2 \sin (x) \cos (x) - 2 (\sin (x) \cos (x)) (1 - 2 \sin^{2} (x)) = 0$

Etapa 2.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$2 \sin (x) \cos (x) - 2 \sin (x) \cos (x) \cdot 1 - 2 \sin (x) \cos (x) (- 2 \sin^{2} (x)) = 0$

Etapa 2.1.1.4

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$2 \sin (x) \cos (x) - 2 \sin (x) \cos (x) - 2 \sin (x) \cos (x) (- 2 \sin^{2} (x)) = 0$

Etapa 2.1.1.5

Multiplique $\sin (x)$ por $\sin^{2} (x)$ somando os expoentes.

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Etapa 2.1.1.5.1

Mova $\sin^{2} (x)$ .

$2 \sin (x) \cos (x) - 2 \sin (x) \cos (x) - 2 (\sin^{2} (x) \sin (x)) \cos (x) \cdot - 2 = 0$

Etapa 2.1.1.5.2

Multiplique $\sin^{2} (x)$ por $\sin (x)$ .

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Etapa 2.1.1.5.2.1

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$2 \sin (x) \cos (x) - 2 \sin (x) \cos (x) - 2 (\sin^{2} (x) \sin^{1} (x)) \cos (x) \cdot - 2 = 0$

Etapa 2.1.1.5.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2 \sin (x) \cos (x) - 2 \sin (x) \cos (x) - 2 {\sin (x)}^{2 + 1} \cos (x) \cdot - 2 = 0$

Etapa 2.1.1.5.3

Some $2$ e $1$ .

$2 \sin (x) \cos (x) - 2 \sin (x) \cos (x) - 2 \sin^{3} (x) \cos (x) \cdot - 2 = 0$

Etapa 2.1.1.6

Multiplique $- 2$ por $- 2$ .

$2 \sin (x) \cos (x) - 2 \sin (x) \cos (x) + 4 \sin^{3} (x) \cos (x) = 0$

Etapa 2.1.2

Simplifique somando os termos.

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Etapa 2.1.2.1

Subtraia $2 \sin (x) \cos (x)$ de $2 \sin (x) \cos (x)$ .

$0 + 4 \sin^{3} (x) \cos (x) = 0$

Etapa 2.1.2.2

Some $0$ e $4 \sin^{3} (x) \cos (x)$ .

$4 \sin^{3} (x) \cos (x) = 0$

Etapa 3

Resolva a equação para $x$ .

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Etapa 3.1

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$\sin^{3} (x) = 0$

$\cos (x) = 0$

Etapa 3.2

Defina $\sin^{3} (x)$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 3.2.1

Defina $\sin^{3} (x)$ como igual a $0$ .

$\sin^{3} (x) = 0$

Etapa 3.2.2

Resolva $\sin^{3} (x) = 0$ para $x$ .

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Etapa 3.2.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sin (x) = \sqrt[3]{0}$

Etapa 3.2.2.2

Simplifique $\sqrt[3]{0}$ .

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Etapa 3.2.2.2.1

Reescreva $0$ como $0^{3}$ .

$\sin (x) = \sqrt[3]{0^{3}}$

Etapa 3.2.2.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais.

$\sin (x) = 0$

Etapa 3.2.2.3

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$x = \arcsin (0)$

Etapa 3.2.2.4

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.2.4.1

O valor exato de $\arcsin (0)$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 3.2.2.5

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$x = π - 0$

Etapa 3.2.2.6

Subtraia $0$ de $π$ .

$x = π$

Etapa 3.2.2.7

Encontre o período de $\sin (x)$ .

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Etapa 3.2.2.7.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 3.2.2.7.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 3.2.2.7.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 3.2.2.7.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 3.2.2.8

O período da função $\sin (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 3.3

Defina $\cos (x)$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 3.3.1

Defina $\cos (x)$ como igual a $0$ .

$\cos (x) = 0$

Etapa 3.3.2

Resolva $\cos (x) = 0$ para $x$ .

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Etapa 3.3.2.1

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do cosseno.

$x = \arccos (0)$

Etapa 3.3.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.3.2.2.1

O valor exato de $\arccos (0)$ é $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Etapa 3.3.2.3

A função do cosseno é positiva no primeiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Etapa 3.3.2.4

Simplifique $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Etapa 3.3.2.4.1

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 3.3.2.4.2

Combine frações.

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Etapa 3.3.2.4.2.1

Combine $2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 3.3.2.4.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Etapa 3.3.2.4.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.3.2.4.3.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Etapa 3.3.2.4.3.2

Subtraia $π$ de $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Etapa 3.3.2.5

Encontre o período de $\cos (x)$ .

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Etapa 3.3.2.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 3.3.2.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 3.3.2.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 3.3.2.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 3.3.2.6

O período da função $\cos (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 3.4

A solução final são todos os valores que tornam $4 \sin^{3} (x) \cos (x) = 0$ verdadeiro.

$x = 2 π n, π + 2 π n, \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 4

Consolide as respostas.

$x = \frac{π n}{2}$ , para qualquer número inteiro $n$