Cálculo Exemplos

$2 \ln (2 x) + \ln (16 x) = 0$

Etapa 1

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$2 \ln (2 x) + \ln (16 x) = 0$

Etapa 2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.1

Simplifique $2 \ln (2 x) + \ln (16 x)$ .

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Etapa 2.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1.1.1

Simplifique $2 \ln (2 x)$ movendo $2$ para dentro do logaritmo.

$\ln ({(2 x)}^{2}) + \ln (16 x) = 0$

Etapa 2.1.1.2

Aplique a regra do produto a $2 x$ .

$\ln (2^{2} x^{2}) + \ln (16 x) = 0$

Etapa 2.1.1.3

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\ln (4 x^{2}) + \ln (16 x) = 0$

Etapa 2.1.2

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (4 x^{2} (16 x)) = 0$

Etapa 2.1.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\ln (4 \cdot 16 x^{2} x) = 0$

Etapa 2.1.4

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 2.1.4.1

Mova $x$ .

$\ln (4 \cdot 16 (x \cdot x^{2})) = 0$

Etapa 2.1.4.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

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Etapa 2.1.4.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\ln (4 \cdot 16 (x^{1} x^{2})) = 0$

Etapa 2.1.4.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\ln (4 \cdot 16 x^{1 + 2}) = 0$

Etapa 2.1.4.3

Some $1$ e $2$ .

$\ln (4 \cdot 16 x^{3}) = 0$

Etapa 2.1.5

Multiplique $4$ por $16$ .

$\ln (64 x^{3}) = 0$

Etapa 3

Para resolver $x$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (64 x^{3})} = e^{0}$

Etapa 4

Reescreva $\ln (64 x^{3}) = 0$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{0} = 64 x^{3}$

Etapa 5

Resolva $x$ .

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Etapa 5.1

Reescreva a equação como $64 x^{3} = e^{0}$ .

$64 x^{3} = e^{0}$

Etapa 5.2

Subtraia $e^{0}$ dos dois lados da equação.

$64 x^{3} - e^{0} = 0$

Etapa 5.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.3.1

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$64 x^{3} - 1 \cdot 1 = 0$

Etapa 5.3.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$64 x^{3} - 1 = 0$

Etapa 5.4

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 5.4.1

Reescreva $64 x^{3}$ como ${(4 x)}^{3}$ .

${(4 x)}^{3} - 1 = 0$

Etapa 5.4.2

Reescreva $1$ como $1^{3}$ .

${(4 x)}^{3} - 1^{3} = 0$

Etapa 5.4.3

Como os dois termos são cubos perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ em que $a = 4 x$ e $b = 1$ .

$(4 x - 1) ({(4 x)}^{2} + 4 x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Etapa 5.4.4

Simplifique.

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Etapa 5.4.4.1

Aplique a regra do produto a $4 x$ .

$(4 x - 1) (4^{2} x^{2} + 4 x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Etapa 5.4.4.2

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$(4 x - 1) (16 x^{2} + 4 x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Etapa 5.4.4.3

Multiplique $4$ por $1$ .

$(4 x - 1) (16 x^{2} + 4 x + 1^{2}) = 0$

Etapa 5.4.4.4

Um elevado a qualquer potência é um.

$(4 x - 1) (16 x^{2} + 4 x + 1) = 0$

Etapa 5.5

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$4 x - 1 = 0$

$16 x^{2} + 4 x + 1 = 0$

Etapa 5.6

Defina $4 x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 5.6.1

Defina $4 x - 1$ como igual a $0$ .

$4 x - 1 = 0$

Etapa 5.6.2

Resolva $4 x - 1 = 0$ para $x$ .

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Etapa 5.6.2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$4 x = 1$

Etapa 5.6.2.2

Divida cada termo em $4 x = 1$ por $4$ e simplifique.

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Etapa 5.6.2.2.1

Divida cada termo em $4 x = 1$ por $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

Etapa 5.6.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.6.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 5.6.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

Etapa 5.6.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{1}{4}$

Etapa 5.7

Defina $16 x^{2} + 4 x + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 5.7.1

Defina $16 x^{2} + 4 x + 1$ como igual a $0$ .

$16 x^{2} + 4 x + 1 = 0$

Etapa 5.7.2

Resolva $16 x^{2} + 4 x + 1 = 0$ para $x$ .

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Etapa 5.7.2.1

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 5.7.2.2

Substitua os valores $a = 16$ , $b = 4$ e $c = 1$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (16 \cdot 1)}}{2 \cdot 16}$

Etapa 5.7.2.3

Simplifique.

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Etapa 5.7.2.3.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.7.2.3.1.1

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 16 \cdot 1}}{2 \cdot 16}$

Etapa 5.7.2.3.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 16 \cdot 1$ .

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Etapa 5.7.2.3.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64 \cdot 1}}{2 \cdot 16}$

Etapa 5.7.2.3.1.2.2

Multiplique $- 64$ por $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2 \cdot 16}$

Etapa 5.7.2.3.1.3

Subtraia $64$ de $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 16}$

Etapa 5.7.2.3.1.4

Reescreva $- 48$ como $- 1 (48)$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 16}$

Etapa 5.7.2.3.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (48)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 16}$

Etapa 5.7.2.3.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 16}$

Etapa 5.7.2.3.1.7

Reescreva $48$ como $4^{2} \cdot 3$ .

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Etapa 5.7.2.3.1.7.1

Fatore $16$ de $48$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 16}$

Etapa 5.7.2.3.1.7.2

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 16}$

Etapa 5.7.2.3.1.8

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 16}$

Etapa 5.7.2.3.1.9

Mova $4$ para a esquerda de $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 16}$

Etapa 5.7.2.3.2

Multiplique $2$ por $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{32}$

Etapa 5.7.2.3.3

Simplifique $\frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{32}$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{8}$

Etapa 5.7.2.4

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{8}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{8}$

Etapa 5.8

A solução final são todos os valores que tornam $(4 x - 1) (16 x^{2} + 4 x + 1) = 0$ verdadeiro.

$x = \frac{1}{4}, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{8}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{8}$