Cálculo Exemplos

$\ln (x) - \ln (\frac{1}{x}) = 2$

Etapa 1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.1

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{x}{\frac{1}{x}}) = 2$

Etapa 1.2

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\ln (x \cdot x) = 2$

Etapa 1.3

Multiplique $x$ por $x$ .

$\ln (x^{2}) = 2$

Etapa 2

Escreva na forma exponencial.

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Etapa 2.1

Para equações logarítmicas, $\log_{b} (x) = y$ é equivalente a $b^{y} = x$ , de forma que $x > 0$ , $b > 0$ e $b \neq 1$ . Neste caso, $b = e$ , $x = x^{2}$ e $y = 2$ .

$b = e$

$x = x^{2}$

$y = 2$

Etapa 2.2

Substitua os valores de $b$ , $x$ e $y$ na equação $b^{y} = x$ .

$e^{2} = x^{2}$

Etapa 3

Resolva $x$ .

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Etapa 3.1

Reescreva a equação como $x^{2} = e^{2}$ .

$x^{2} = e^{2}$

Etapa 3.2

Como os expoentes são iguais, as bases deles nos dois lados da equação devem ser iguais.

$| x | = | e |$

Etapa 3.3

Resolva $x$ .

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Etapa 3.3.1

Remova o termo de valor absoluto. Isso cria um $\pm$ no lado direito da equação, porque $| x | = \pm x$ .

$x = \pm | e |$

Etapa 3.3.2

$e$ é aproximadamente $2.71828182$ , que é positivo, então remova o valor absoluto

$x = \pm e$

Etapa 3.3.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 3.3.3.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = e$

Etapa 3.3.3.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - e$

Etapa 3.3.3.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = e, - e$

Etapa 4

Exclua as soluções que não tornam $\ln (x) - \ln (\frac{1}{x}) = 2$ verdadeira.

$x = e$

Etapa 5

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$x = e$

Forma decimal:

$x = 2.71828182 \dots$