Cálculo Exemplos

$\ln (x) - \ln (x - 1) = \ln (4 x - 6)$

Etapa 1

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{x}{x - 1}) = \ln (4 x - 6)$

Etapa 2

Para que a equação seja igual, o argumento dos logaritmos deve ser igual nos dois lados da equação.

$\frac{x}{x - 1} = 4 x - 6$

Etapa 3

Resolva $x$ .

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Etapa 3.1

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 3.1.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$x - 1, 1, 1$

Etapa 3.1.2

Remova os parênteses.

$x - 1, 1, 1$

Etapa 3.1.3

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$x - 1$

Etapa 3.2

Multiplique cada termo em $\frac{x}{x - 1} = 4 x - 6$ por $x - 1$ para eliminar as frações.

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Etapa 3.2.1

Multiplique cada termo em $\frac{x}{x - 1} = 4 x - 6$ por $x - 1$ .

$\frac{x}{x - 1} (x - 1) = 4 x (x - 1) - 6 (x - 1)$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.2.1

Cancele o fator comum de $x - 1$ .

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Etapa 3.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x}{x - 1} (x - 1) = 4 x (x - 1) - 6 (x - 1)$

Etapa 3.2.2.1.2

Reescreva a expressão.

$x = 4 x (x - 1) - 6 (x - 1)$

Etapa 3.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.3.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x = 4 x \cdot x + 4 x \cdot - 1 - 6 (x - 1)$

Etapa 3.2.3.1.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 3.2.3.1.2.1

Mova $x$ .

$x = 4 (x \cdot x) + 4 x \cdot - 1 - 6 (x - 1)$

Etapa 3.2.3.1.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$x = 4 x^{2} + 4 x \cdot - 1 - 6 (x - 1)$

Etapa 3.2.3.1.3

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$x = 4 x^{2} - 4 x - 6 (x - 1)$

Etapa 3.2.3.1.4

Aplique a propriedade distributiva.

$x = 4 x^{2} - 4 x - 6 x - 6 \cdot - 1$

Etapa 3.2.3.1.5

Multiplique $- 6$ por $- 1$ .

$x = 4 x^{2} - 4 x - 6 x + 6$

Etapa 3.2.3.2

Subtraia $6 x$ de $- 4 x$ .

$x = 4 x^{2} - 10 x + 6$

Etapa 3.3

Resolva a equação.

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Etapa 3.3.1

Como $x$ está do lado direito da equação, troque os lados para que ela fique do lado esquerdo da equação.

$4 x^{2} - 10 x + 6 = x$

Etapa 3.3.2

Mova todos os termos que contêm $x$ para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 3.3.2.1

Subtraia $x$ dos dois lados da equação.

$4 x^{2} - 10 x + 6 - x = 0$

Etapa 3.3.2.2

Subtraia $x$ de $- 10 x$ .

$4 x^{2} - 11 x + 6 = 0$

Etapa 3.3.3

Fatore por agrupamento.

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Etapa 3.3.3.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 4 \cdot 6 = 24$ e cuja soma é $b = - 11$ .

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Etapa 3.3.3.1.1

Fatore $- 11$ de $- 11 x$ .

$4 x^{2} - 11 x + 6 = 0$

Etapa 3.3.3.1.2

Reescreva $- 11$ como $- 3$ mais $- 8$

$4 x^{2} + (- 3 - 8) x + 6 = 0$

Etapa 3.3.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$4 x^{2} - 3 x - 8 x + 6 = 0$

Etapa 3.3.3.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 3.3.3.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(4 x^{2} - 3 x) - 8 x + 6 = 0$

Etapa 3.3.3.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$x (4 x - 3) - 2 (4 x - 3) = 0$

Etapa 3.3.3.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $4 x - 3$ .

$(4 x - 3) (x - 2) = 0$

Etapa 3.3.4

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$4 x - 3 = 0$

$x - 2 = 0$

Etapa 3.3.5

Defina $4 x - 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 3.3.5.1

Defina $4 x - 3$ como igual a $0$ .

$4 x - 3 = 0$

Etapa 3.3.5.2

Resolva $4 x - 3 = 0$ para $x$ .

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Etapa 3.3.5.2.1

Some $3$ aos dois lados da equação.

$4 x = 3$

Etapa 3.3.5.2.2

Divida cada termo em $4 x = 3$ por $4$ e simplifique.

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Etapa 3.3.5.2.2.1

Divida cada termo em $4 x = 3$ por $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{3}{4}$

Etapa 3.3.5.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.3.5.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 3.3.5.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 x}{4} = \frac{3}{4}$

Etapa 3.3.5.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{3}{4}$

Etapa 3.3.6

Defina $x - 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 3.3.6.1

Defina $x - 2$ como igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Etapa 3.3.6.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 3.3.7

A solução final são todos os valores que tornam $(4 x - 3) (x - 2) = 0$ verdadeiro.

$x = \frac{3}{4}, 2$

Etapa 4

Exclua as soluções que não tornam $\ln (x) - \ln (x - 1) = \ln (4 x - 6)$ verdadeira.

$x = 2$