Cálculo Exemplos

$\ln (x) + \ln (x - 1) = 5$

Etapa 1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.1

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (x (x - 1)) = 5$

Etapa 1.2

Simplifique multiplicando.

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Etapa 1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\ln (x \cdot x + x \cdot - 1) = 5$

Etapa 1.2.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.2.2.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$\ln (x^{2} + x \cdot - 1) = 5$

Etapa 1.2.2.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $x$ .

$\ln (x^{2} - 1 \cdot x) = 5$

Etapa 1.3

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$\ln (x^{2} - x) = 5$

Etapa 2

Para resolver $x$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (x^{2} - x)} = e^{5}$

Etapa 3

Reescreva $\ln (x^{2} - x) = 5$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{5} = x^{2} - x$

Etapa 4

Resolva $x$ .

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Etapa 4.1

Reescreva a equação como $x^{2} - x = e^{5}$ .

$x^{2} - x = e^{5}$

Etapa 4.2

Subtraia $e^{5}$ dos dois lados da equação.

$x^{2} - x - e^{5} = 0$

Etapa 4.3

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 4.4

Substitua os valores $a = 1$ , $b = - 1$ e $c = - e^{5}$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- e^{5}))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.5

Simplifique.

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Etapa 4.5.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.5.1.1

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 e^{5})}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.5.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Etapa 4.5.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot (- 1 e^{5})}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.5.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $- 1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4 e^{5}}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.5.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4 e^{5}}}{2}$

Etapa 4.6

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$x = \frac{1 + \sqrt{1 + 4 e^{5}}}{2}, \frac{1 - \sqrt{1 + 4 e^{5}}}{2}$

Etapa 5

Exclua as soluções que não tornam $\ln (x) + \ln (x - 1) = 5$ verdadeira.

$x = \frac{1 + \sqrt{1 + 4 e^{5}}}{2}$

Etapa 6

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$x = \frac{1 + \sqrt{1 + 4 e^{5}}}{2}$

Forma decimal:

$x = 12.69275026 \dots$