Cálculo Exemplos

ln (x^{4}) - ln (x^{2}) = 2

$\ln (x^{4}) - \ln (x^{2}) = 2$

Etapa 1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.1

Use a propriedade dos logaritmos do quociente,

{log}_{b} (x) - {log}_{b} (y) = {log}_{b} (\frac{x}{y})

$\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

ln (\frac{x^{4}}{x^{2}}) = 2

$\ln (\frac{x^{4}}{x^{2}}) = 2$

Etapa 1.2

Cancele o fator comum de

x^{4}

$x^{4}$ e

x^{2}

$x^{2}$ .

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Etapa 1.2.1

Fatore

x^{2}

$x^{2}$ de

x^{4}

$x^{4}$ .

ln (\frac{x^{2} x^{2}}{x^{2}}) = 2

$\ln (\frac{x^{2} x^{2}}{x^{2}}) = 2$

Etapa 1.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.2.2.1

Multiplique por

1

$1$ .

ln (\frac{x^{2} x^{2}}{x^{2} \cdot 1}) = 2

$\ln (\frac{x^{2} x^{2}}{x^{2} \cdot 1}) = 2$

Etapa 1.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\ln (\frac{x^{2} x^{2}}{x^{2} \cdot 1}) = 2$

Etapa 1.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\ln (\frac{x^{2}}{1}) = 2$

Etapa 1.2.2.4

Divida

$x^{2}$ por

$1$ .

$\ln (x^{2}) = 2$

Etapa 2

Escreva na forma exponencial.

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Etapa 2.1

Para equações logarítmicas,

$\log_{b} (x) = y$ é equivalente a

$b^{y} = x$ , de forma que

$x > 0$ ,

$b > 0$ e

$b \neq 1$ . Neste caso,

$b = e$ ,

$x = x^{2}$ e

$y = 2$ .

$b = e$

$x = x^{2}$

$y = 2$

Etapa 2.2

Substitua os valores de

$b$ ,

$x$ e

$y$ na equação

$b^{y} = x$ .

$e^{2} = x^{2}$

Etapa 3

Resolva

$x$ .

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Etapa 3.1

Reescreva a equação como

$x^{2} = e^{2}$ .

$x^{2} = e^{2}$

Etapa 3.2

Como os expoentes são iguais, as bases deles nos dois lados da equação devem ser iguais.

$| x | = | e |$

Etapa 3.3

Resolva

$x$ .

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Etapa 3.3.1

Remova o termo de valor absoluto. Isso cria um

$\pm$ no lado direito da equação, porque

$| x | = \pm x$ .

$x = \pm | e |$

Etapa 3.3.2

$e$ é aproximadamente

$2.71828182$ , que é positivo, então remova o valor absoluto

$x = \pm e$

Etapa 3.3.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 3.3.3.1

Primeiro, use o valor positivo de

$\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = e$

Etapa 3.3.3.2

Depois, use o valor negativo de

$\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - e$

Etapa 3.3.3.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = e, - e$

Etapa 4

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$x = e, - e$

Forma decimal:

$x = 2.71828182 \dots, - 2.71828182 \dots$