Cálculo Exemplos

$\ln (5 x^{2} + 2 x - 15) - 2 \ln (2 x - 1) = 0$

Etapa 1

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$\ln (5 x^{2} + 2 x - 15) - 2 \ln (2 x - 1) = 0$

Etapa 2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.1

Simplifique $\ln (5 x^{2} + 2 x - 15) - 2 \ln (2 x - 1)$ .

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Etapa 2.1.1

Simplifique $- 2 \ln (2 x - 1)$ movendo $2$ para dentro do logaritmo.

$\ln (5 x^{2} + 2 x - 15) - \ln ({(2 x - 1)}^{2}) = 0$

Etapa 2.1.2

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{5 x^{2} + 2 x - 15}{{(2 x - 1)}^{2}}) = 0$

Etapa 3

Reescreva $\ln (\frac{5 x^{2} + 2 x - 15}{{(2 x - 1)}^{2}}) = 0$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b$ $\neq$ $1$ , então $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{0} = \frac{5 x^{2} + 2 x - 15}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Etapa 4

Multiplique usando a regra de três para remover a fração.

$5 x^{2} + 2 x - 15 = e^{0} ({(2 x - 1)}^{2})$

Etapa 5

Simplifique $e^{0} ({(2 x - 1)}^{2})$ .

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Etapa 5.1

Simplifique a expressão.

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Etapa 5.1.1

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$5 x^{2} + 2 x - 15 = 1 {(2 x - 1)}^{2}$

Etapa 5.1.2

Multiplique ${(2 x - 1)}^{2}$ por $1$ .

$5 x^{2} + 2 x - 15 = {(2 x - 1)}^{2}$

Etapa 5.1.3

Reescreva ${(2 x - 1)}^{2}$ como $(2 x - 1) (2 x - 1)$ .

$5 x^{2} + 2 x - 15 = (2 x - 1) (2 x - 1)$

Etapa 5.2

Expanda $(2 x - 1) (2 x - 1)$ usando o método FOIL.

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Etapa 5.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$5 x^{2} + 2 x - 15 = 2 x (2 x - 1) - 1 (2 x - 1)$

Etapa 5.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$5 x^{2} + 2 x - 15 = 2 x (2 x) + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x - 1)$

Etapa 5.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$5 x^{2} + 2 x - 15 = 2 x (2 x) + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1$

Etapa 5.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 5.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.3.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$5 x^{2} + 2 x - 15 = 2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1$

Etapa 5.3.1.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 5.3.1.2.1

Mova $x$ .

$5 x^{2} + 2 x - 15 = 2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1$

Etapa 5.3.1.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$5 x^{2} + 2 x - 15 = 2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1$

Etapa 5.3.1.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$5 x^{2} + 2 x - 15 = 4 x^{2} + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1$

Etapa 5.3.1.4

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$5 x^{2} + 2 x - 15 = 4 x^{2} - 2 x - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1$

Etapa 5.3.1.5

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$5 x^{2} + 2 x - 15 = 4 x^{2} - 2 x - 2 x - 1 \cdot - 1$

Etapa 5.3.1.6

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$5 x^{2} + 2 x - 15 = 4 x^{2} - 2 x - 2 x + 1$

Etapa 5.3.2

Subtraia $2 x$ de $- 2 x$ .

$5 x^{2} + 2 x - 15 = 4 x^{2} - 4 x + 1$

Etapa 6

Mova todos os termos que contêm $x$ para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 6.1

Subtraia $4 x^{2}$ dos dois lados da equação.

$5 x^{2} + 2 x - 15 - 4 x^{2} = - 4 x + 1$

Etapa 6.2

Some $4 x$ aos dois lados da equação.

$5 x^{2} + 2 x - 15 - 4 x^{2} + 4 x = 1$

Etapa 6.3

Subtraia $4 x^{2}$ de $5 x^{2}$ .

$x^{2} + 2 x - 15 + 4 x = 1$

Etapa 6.4

Some $2 x$ e $4 x$ .

$x^{2} + 6 x - 15 = 1$

Etapa 7

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da equação.

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Etapa 7.1

Some $15$ aos dois lados da equação.

$x^{2} + 6 x = 1 + 15$

Etapa 7.2

Some $1$ e $15$ .

$x^{2} + 6 x = 16$

Etapa 8

Subtraia $16$ dos dois lados da equação.

$x^{2} + 6 x - 16 = 0$

Etapa 9

Fatore $x^{2} + 6 x - 16$ usando o método AC.

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Etapa 9.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 16$ e cuja soma é $6$ .

$- 2, 8$

Etapa 9.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(x - 2) (x + 8) = 0$

Etapa 10

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

$x + 8 = 0$

Etapa 11

Defina $x - 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 11.1

Defina $x - 2$ como igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Etapa 11.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 12

Defina $x + 8$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 12.1

Defina $x + 8$ como igual a $0$ .

$x + 8 = 0$

Etapa 12.2

Subtraia $8$ dos dois lados da equação.

$x = - 8$

Etapa 13

A solução final são todos os valores que tornam $(x - 2) (x + 8) = 0$ verdadeiro.

$x = 2, - 8$

Etapa 14

Exclua as soluções que não tornam $\ln (5 x^{2} + 2 x - 15) - 2 \ln (2 x - 1) = 0$ verdadeira.

$x = 2$