Cálculo Exemplos

$\ln (x - 3) - \ln (x - 4) - \ln (x) = \ln (3)$

Etapa 1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.1

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{x - 3}{x - 4}) - \ln (x) = \ln (3)$

Etapa 1.2

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{\frac{x - 3}{x - 4}}{x}) = \ln (3)$

Etapa 1.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\ln (\frac{x - 3}{x - 4} \cdot \frac{1}{x}) = \ln (3)$

Etapa 1.4

Multiplique $\frac{x - 3}{x - 4}$ por $\frac{1}{x}$ .

$\ln (\frac{x - 3}{(x - 4) x}) = \ln (3)$

Etapa 1.5

Reordene os fatores em $\ln (\frac{x - 3}{(x - 4) x})$ .

$\ln (\frac{x - 3}{x (x - 4)}) = \ln (3)$

Etapa 2

Para que a equação seja igual, o argumento dos logaritmos deve ser igual nos dois lados da equação.

$\frac{x - 3}{x (x - 4)} = 3$

Etapa 3

Resolva $x$ .

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Etapa 3.1

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 3.1.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$x (x - 4), 1$

Etapa 3.1.2

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$x (x - 4)$

Etapa 3.2

Multiplique cada termo em $\frac{x - 3}{x (x - 4)} = 3$ por $x (x - 4)$ para eliminar as frações.

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Etapa 3.2.1

Multiplique cada termo em $\frac{x - 3}{x (x - 4)} = 3$ por $x (x - 4)$ .

$\frac{x - 3}{x (x - 4)} (x (x - 4)) = 3 (x (x - 4))$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.2.1

Cancele o fator comum de $x (x - 4)$ .

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Etapa 3.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x - 3}{x (x - 4)} (x (x - 4)) = 3 (x (x - 4))$

Etapa 3.2.2.1.2

Reescreva a expressão.

$x - 3 = 3 (x (x - 4))$

Etapa 3.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x - 3 = 3 (x \cdot x + x \cdot - 4)$

Etapa 3.2.3.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.2.3.2.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$x - 3 = 3 (x^{2} + x \cdot - 4)$

Etapa 3.2.3.2.2

Mova $- 4$ para a esquerda de $x$ .

$x - 3 = 3 (x^{2} - 4 \cdot x)$

Etapa 3.2.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$x - 3 = 3 x^{2} + 3 (- 4 x)$

Etapa 3.2.3.4

Multiplique $- 4$ por $3$ .

$x - 3 = 3 x^{2} - 12 x$

Etapa 3.3

Resolva a equação.

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Etapa 3.3.1

Como $x$ está do lado direito da equação, troque os lados para que ela fique do lado esquerdo da equação.

$3 x^{2} - 12 x = x - 3$

Etapa 3.3.2

Mova todos os termos que contêm $x$ para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 3.3.2.1

Subtraia $x$ dos dois lados da equação.

$3 x^{2} - 12 x - x = - 3$

Etapa 3.3.2.2

Subtraia $x$ de $- 12 x$ .

$3 x^{2} - 13 x = - 3$

Etapa 3.3.3

Some $3$ aos dois lados da equação.

$3 x^{2} - 13 x + 3 = 0$

Etapa 3.3.4

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 3.3.5

Substitua os valores $a = 3$ , $b = - 13$ e $c = 3$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{13 \pm \sqrt{{(- 13)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot 3)}}{2 \cdot 3}$

Etapa 3.3.6

Simplifique.

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Etapa 3.3.6.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.3.6.1.1

Eleve $- 13$ à potência de $2$ .

$x = \frac{13 \pm \sqrt{169 - 4 \cdot 3 \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

Etapa 3.3.6.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 3 \cdot 3$ .

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Etapa 3.3.6.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $3$ .

$x = \frac{13 \pm \sqrt{169 - 12 \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

Etapa 3.3.6.1.2.2

Multiplique $- 12$ por $3$ .

$x = \frac{13 \pm \sqrt{169 - 36}}{2 \cdot 3}$

Etapa 3.3.6.1.3

Subtraia $36$ de $169$ .

$x = \frac{13 \pm \sqrt{133}}{2 \cdot 3}$

Etapa 3.3.6.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$x = \frac{13 \pm \sqrt{133}}{6}$

Etapa 3.3.7

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$x = \frac{13 + \sqrt{133}}{6}, \frac{13 - \sqrt{133}}{6}$

Etapa 4

Exclua as soluções que não tornam $\ln (x - 3) - \ln (x - 4) - \ln (x) = \ln (3)$ verdadeira.

$x = \frac{13 + \sqrt{133}}{6}$

Etapa 5

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$x = \frac{13 + \sqrt{133}}{6}$

Forma decimal:

$x = 4.08876043 \dots$