Cálculo Exemplos

$\sin (x) = \frac{- 2 + \sqrt{20}}{4 \sqrt{2}}$

Etapa 1

Simplifique $\frac{- 2 + \sqrt{20}}{4 \sqrt{2}}$ .

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Etapa 1.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.1.1

Reescreva $20$ como $2^{2} \cdot 5$ .

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Etapa 1.1.1.1

Fatore $4$ de $20$ .

$\sin (x) = \frac{- 2 + \sqrt{4 (5)}}{4 \sqrt{2}}$

Etapa 1.1.1.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\sin (x) = \frac{- 2 + \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{4 \sqrt{2}}$

Etapa 1.1.2

Elimine os termos abaixo do radical.

$\sin (x) = \frac{- 2 + 2 \sqrt{5}}{4 \sqrt{2}}$

Etapa 1.2

Cancele o fator comum de $- 2 + 2 \sqrt{5}$ e $4$ .

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Etapa 1.2.1

Fatore $2$ de $- 2$ .

$\sin (x) = \frac{2 \cdot - 1 + 2 \sqrt{5}}{4 \sqrt{2}}$

Etapa 1.2.2

Fatore $2$ de $2 \sqrt{5}$ .

$\sin (x) = \frac{2 \cdot - 1 + 2 (\sqrt{5})}{4 \sqrt{2}}$

Etapa 1.2.3

Fatore $2$ de $2 \cdot - 1 + 2 (\sqrt{5})$ .

$\sin (x) = \frac{2 \cdot (- 1 + \sqrt{5})}{4 \sqrt{2}}$

Etapa 1.2.4

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.2.4.1

Fatore $2$ de $4 \sqrt{2}$ .

$\sin (x) = \frac{2 \cdot (- 1 + \sqrt{5})}{2 (2 \sqrt{2})}$

Etapa 1.2.4.2

Cancele o fator comum.

$\sin (x) = \frac{2 \cdot (- 1 + \sqrt{5})}{2 (2 \sqrt{2})}$

Etapa 1.2.4.3

Reescreva a expressão.

$\sin (x) = \frac{- 1 + \sqrt{5}}{2 \sqrt{2}}$

Etapa 1.3

Multiplique $\frac{- 1 + \sqrt{5}}{2 \sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (x) = \frac{- 1 + \sqrt{5}}{2 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Etapa 1.4

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 1.4.1

Multiplique $\frac{- 1 + \sqrt{5}}{2 \sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (x) = \frac{(- 1 + \sqrt{5}) \sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Etapa 1.4.2

Mova $\sqrt{2}$ .

$\sin (x) = \frac{(- 1 + \sqrt{5}) \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Etapa 1.4.3

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$\sin (x) = \frac{(- 1 + \sqrt{5}) \sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}$

Etapa 1.4.4

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$\sin (x) = \frac{(- 1 + \sqrt{5}) \sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}$

Etapa 1.4.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\sin (x) = \frac{(- 1 + \sqrt{5}) \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Etapa 1.4.6

Some $1$ e $1$ .

$\sin (x) = \frac{(- 1 + \sqrt{5}) \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{2}}$

Etapa 1.4.7

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Etapa 1.4.7.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (x) = \frac{(- 1 + \sqrt{5}) \sqrt{2}}{2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 1.4.7.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (x) = \frac{(- 1 + \sqrt{5}) \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 1.4.7.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\sin (x) = \frac{(- 1 + \sqrt{5}) \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 1.4.7.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.4.7.4.1

Cancele o fator comum.

$\sin (x) = \frac{(- 1 + \sqrt{5}) \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 1.4.7.4.2

Reescreva a expressão.

$\sin (x) = \frac{(- 1 + \sqrt{5}) \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{1}}$

Etapa 1.4.7.5

Avalie o expoente.

$\sin (x) = \frac{(- 1 + \sqrt{5}) \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Etapa 1.5

Multiplique $2$ por $2$ .

$\sin (x) = \frac{(- 1 + \sqrt{5}) \sqrt{2}}{4}$

Etapa 1.6

Aplique a propriedade distributiva.

$\sin (x) = \frac{- 1 \sqrt{2} + \sqrt{5} \sqrt{2}}{4}$

Etapa 1.7

Reescreva $- 1 \sqrt{2}$ como $- \sqrt{2}$ .

$\sin (x) = \frac{- \sqrt{2} + \sqrt{5} \sqrt{2}}{4}$

Etapa 1.8

Combine usando a regra do produto para radicais.

$\sin (x) = \frac{- \sqrt{2} + \sqrt{5 \cdot 2}}{4}$

Etapa 1.9

Multiplique $5$ por $2$ .

$\sin (x) = \frac{- \sqrt{2} + \sqrt{10}}{4}$

Etapa 1.10

Fatore $- 1$ de $- \sqrt{2}$ .

$\sin (x) = \frac{- (\sqrt{2}) + \sqrt{10}}{4}$

Etapa 1.11

Fatore $- 1$ de $\sqrt{10}$ .

$\sin (x) = \frac{- (\sqrt{2}) - 1 (- \sqrt{10})}{4}$

Etapa 1.12

Fatore $- 1$ de $- (\sqrt{2}) - 1 (- \sqrt{10})$ .

$\sin (x) = \frac{- (\sqrt{2} - \sqrt{10})}{4}$

Etapa 1.13

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.13.1

Reescreva $- (\sqrt{2} - \sqrt{10})$ como $- 1 (\sqrt{2} - \sqrt{10})$ .

$\sin (x) = \frac{- 1 (\sqrt{2} - \sqrt{10})}{4}$

Etapa 1.13.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{2} - \sqrt{10}}{4}$

Etapa 2

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$x = \arcsin (- \frac{\sqrt{2} - \sqrt{10}}{4})$

Etapa 3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.1

Avalie $\arcsin (- \frac{\sqrt{2} - \sqrt{10}}{4})$ .

$x = 0.45227844$

Etapa 4

A função do seno é negativa no terceiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia a solução de $2 π$ para determinar um ângulo de referência. Depois, some esse ângulo de referência com $π$ para encontrar a solução no terceiro quadrante.

$x = 2 (3.14159265) - 0.45227844 + 3.14159265$

Etapa 5

Simplifique a expressão para encontrar a segunda solução.

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Etapa 5.1

Subtraia $2 π$ de $2 (3.14159265) - 0.45227844 + 3.14159265$ .

$x = 2 (3.14159265) - 0.45227844 + 3.14159265 - 2 π$

Etapa 5.2

O ângulo resultante de $2.6893142$ é positivo, menor do que $2 π$ e coterminal com $2 (3.14159265) - 0.45227844 + 3.14159265$ .

$x = 2.6893142$

Etapa 6

Encontre o período de $\sin (x)$ .

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Etapa 6.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 6.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 6.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 6.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 7

O período da função $\sin (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = 0.45227844 + 2 π n, 2.6893142 + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$