Cálculo Exemplos

$6 x e^{x y} = 5$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (6 x e^{x y}) = \frac{d}{d x} (5)$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 x e^{x y}$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [x e^{x y}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x e^{x y}]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = e^{x y}$ .

$6 (x \frac{d}{d x} [e^{x y}] + e^{x y} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x y$ .

$6 (x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x y]) + e^{x y} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$6 (x (e^{u} \frac{d}{d x} [x y]) + e^{x y} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x y$ .

$6 (x (e^{x y} \frac{d}{d x} [x y]) + e^{x y} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$6 (x (e^{x y} (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])) + e^{x y} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.5

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$6 (x (e^{x y} (x y' + y \frac{d}{d x} [x])) + e^{x y} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$6 (x (e^{x y} (x y' + y \cdot 1)) + e^{x y} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.7

Multiplique $y$ por $1$ .

$6 (x (e^{x y} (x y' + y)) + e^{x y} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$6 (x (e^{x y} (x y' + y)) + e^{x y} \cdot 1)$

Etapa 2.9

Multiplique $e^{x y}$ por $1$ .

$6 (x (e^{x y} (x y' + y)) + e^{x y})$

Etapa 2.10

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.10.1

Aplique a propriedade distributiva.

$6 (x (e^{x y} (x y') + e^{x y} y) + e^{x y})$

Etapa 2.10.2

Aplique a propriedade distributiva.

$6 (x (e^{x y} (x y')) + x (e^{x y} y) + e^{x y})$

Etapa 2.10.3

Aplique a propriedade distributiva.

$6 (x (e^{x y} (x y'))) + 6 (x (e^{x y} y)) + 6 e^{x y}$

Etapa 2.10.4

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.10.4.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$6 (x^{1} x (e^{x y} (y'))) + 6 (x (e^{x y} y)) + 6 e^{x y}$

Etapa 2.10.4.2

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$6 (x^{1} x^{1} (e^{x y} (y'))) + 6 (x (e^{x y} y)) + 6 e^{x y}$

Etapa 2.10.4.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$6 (x^{1 + 1} (e^{x y} (y'))) + 6 (x (e^{x y} y)) + 6 e^{x y}$

Etapa 2.10.4.4

Some $1$ e $1$ .

$6 x^{2} (e^{x y} (y')) + 6 x (e^{x y} y) + 6 e^{x y}$

Etapa 2.10.5

Reordene os termos.

$6 e^{x y} x^{2} y' + 6 e^{x y} x y + 6 e^{x y}$

Etapa 3

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5$ em relação a $x$ é $0$ .

$0$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$6 e^{x y} x^{2} y' + 6 e^{x y} x y + 6 e^{x y} = 0$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Reordene os fatores em $6 e^{x y} x^{2} y' + 6 e^{x y} x y + 6 e^{x y}$ .

$6 x^{2} y' e^{x y} + 6 x y e^{x y} + 6 e^{x y} = 0$

Etapa 5.2

Mova todos os termos que não contêm $y'$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Subtraia $6 x y e^{x y}$ dos dois lados da equação.

$6 x^{2} y' e^{x y} + 6 e^{x y} = - 6 x y e^{x y}$

Etapa 5.2.2

Subtraia $6 e^{x y}$ dos dois lados da equação.

$6 x^{2} y' e^{x y} = - 6 x y e^{x y} - 6 e^{x y}$

Etapa 5.3

Divida cada termo em $6 x^{2} y' e^{x y} = - 6 x y e^{x y} - 6 e^{x y}$ por $6 x^{2} e^{x y}$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Divida cada termo em $6 x^{2} y' e^{x y} = - 6 x y e^{x y} - 6 e^{x y}$ por $6 x^{2} e^{x y}$ .

$\frac{6 x^{2} y' e^{x y}}{6 x^{2} e^{x y}} = \frac{- 6 x y e^{x y}}{6 x^{2} e^{x y}} + \frac{- 6 e^{x y}}{6 x^{2} e^{x y}}$

Etapa 5.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1

Cancele o fator comum de $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{6 x^{2} y' e^{x y}}{6 x^{2} e^{x y}} = \frac{- 6 x y e^{x y}}{6 x^{2} e^{x y}} + \frac{- 6 e^{x y}}{6 x^{2} e^{x y}}$

Etapa 5.3.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{x^{2} y' e^{x y}}{x^{2} e^{x y}} = \frac{- 6 x y e^{x y}}{6 x^{2} e^{x y}} + \frac{- 6 e^{x y}}{6 x^{2} e^{x y}}$

Etapa 5.3.2.2

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x^{2} y' e^{x y}}{x^{2} e^{x y}} = \frac{- 6 x y e^{x y}}{6 x^{2} e^{x y}} + \frac{- 6 e^{x y}}{6 x^{2} e^{x y}}$

Etapa 5.3.2.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y' e^{x y}}{e^{x y}} = \frac{- 6 x y e^{x y}}{6 x^{2} e^{x y}} + \frac{- 6 e^{x y}}{6 x^{2} e^{x y}}$

Etapa 5.3.2.3

Cancele o fator comum de $e^{x y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' e^{x y}}{e^{x y}} = \frac{- 6 x y e^{x y}}{6 x^{2} e^{x y}} + \frac{- 6 e^{x y}}{6 x^{2} e^{x y}}$

Etapa 5.3.2.3.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 6 x y e^{x y}}{6 x^{2} e^{x y}} + \frac{- 6 e^{x y}}{6 x^{2} e^{x y}}$

Etapa 5.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.1.1

Cancele o fator comum de $- 6$ e $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.1.1.1

Fatore $6$ de $- 6 x y e^{x y}$ .

$y' = \frac{6 (- x y e^{x y})}{6 x^{2} e^{x y}} + \frac{- 6 e^{x y}}{6 x^{2} e^{x y}}$

Etapa 5.3.3.1.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.1.1.2.1

Fatore $6$ de $6 x^{2} e^{x y}$ .

$y' = \frac{6 (- x y e^{x y})}{6 (x^{2} e^{x y})} + \frac{- 6 e^{x y}}{6 x^{2} e^{x y}}$

Etapa 5.3.3.1.1.2.2

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{6 (- x y e^{x y})}{6 (x^{2} e^{x y})} + \frac{- 6 e^{x y}}{6 x^{2} e^{x y}}$

Etapa 5.3.3.1.1.2.3

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{- x y e^{x y}}{x^{2} e^{x y}} + \frac{- 6 e^{x y}}{6 x^{2} e^{x y}}$

Etapa 5.3.3.1.2

Cancele o fator comum de $x$ e $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.1.2.1

Fatore $x$ de $- x y e^{x y}$ .

$y' = \frac{x (- y e^{x y})}{x^{2} e^{x y}} + \frac{- 6 e^{x y}}{6 x^{2} e^{x y}}$

Etapa 5.3.3.1.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.1.2.2.1

Fatore $x$ de $x^{2} e^{x y}$ .

$y' = \frac{x (- y e^{x y})}{x (x e^{x y})} + \frac{- 6 e^{x y}}{6 x^{2} e^{x y}}$

Etapa 5.3.3.1.2.2.2

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{x (- y e^{x y})}{x (x e^{x y})} + \frac{- 6 e^{x y}}{6 x^{2} e^{x y}}$

Etapa 5.3.3.1.2.2.3

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{- y e^{x y}}{x e^{x y}} + \frac{- 6 e^{x y}}{6 x^{2} e^{x y}}$

Etapa 5.3.3.1.3

Cancele o fator comum de $e^{x y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.1.3.1

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{- y e^{x y}}{x e^{x y}} + \frac{- 6 e^{x y}}{6 x^{2} e^{x y}}$

Etapa 5.3.3.1.3.2

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{- y}{x} + \frac{- 6 e^{x y}}{6 x^{2} e^{x y}}$

Etapa 5.3.3.1.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{y}{x} + \frac{- 6 e^{x y}}{6 x^{2} e^{x y}}$

Etapa 5.3.3.1.5

Cancele o fator comum de $- 6$ e $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.1.5.1

Fatore $6$ de $- 6 e^{x y}$ .

$y' = - \frac{y}{x} + \frac{6 (- e^{x y})}{6 x^{2} e^{x y}}$

Etapa 5.3.3.1.5.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.1.5.2.1

Fatore $6$ de $6 x^{2} e^{x y}$ .

$y' = - \frac{y}{x} + \frac{6 (- e^{x y})}{6 (x^{2} e^{x y})}$

Etapa 5.3.3.1.5.2.2

Cancele o fator comum.

$y' = - \frac{y}{x} + \frac{6 (- e^{x y})}{6 (x^{2} e^{x y})}$

Etapa 5.3.3.1.5.2.3

Reescreva a expressão.

$y' = - \frac{y}{x} + \frac{- e^{x y}}{x^{2} e^{x y}}$

Etapa 5.3.3.1.6

Cancele o fator comum de $e^{x y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.1.6.1

Cancele o fator comum.

$y' = - \frac{y}{x} + \frac{- e^{x y}}{x^{2} e^{x y}}$

Etapa 5.3.3.1.6.2

Reescreva a expressão.

$y' = - \frac{y}{x} + \frac{- 1}{x^{2}}$

Etapa 5.3.3.1.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{y}{x} - \frac{1}{x^{2}}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x} - \frac{1}{x^{2}}$