Cálculo Exemplos

$x = (1 + t) \sqrt{t}$

Etapa 1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{t}$ como $t^{\frac{1}{2}}$ .

$x = (1 + t) t^{\frac{1}{2}}$

Etapa 2

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d t} (x) = \frac{d}{d t} ((1 + t) t^{\frac{1}{2}})$

Etapa 3

A derivada de $x$ em relação a $t$ é $x'$ .

$x'$

Etapa 4

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 4.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ é $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ , em que $f (t) = 1 + t$ e $g (t) = t^{\frac{1}{2}}$ .

$(1 + t) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}] + t^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [1 + t]$

Etapa 4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$(1 + t) (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1}) + t^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [1 + t]$

Etapa 4.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$(1 + t) (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + t^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [1 + t]$

Etapa 4.4

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$(1 + t) (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + t^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [1 + t]$

Etapa 4.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$(1 + t) (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + t^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [1 + t]$

Etapa 4.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.6.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$(1 + t) (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 2}{2}}) + t^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [1 + t]$

Etapa 4.6.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$(1 + t) (\frac{1}{2} t^{\frac{- 1}{2}}) + t^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [1 + t]$

Etapa 4.7

Combine frações.

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Etapa 4.7.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$(1 + t) (\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}}) + t^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [1 + t]$

Etapa 4.7.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $t^{- \frac{1}{2}}$ .

$(1 + t) \frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2} + t^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [1 + t]$

Etapa 4.7.3

Mova $t^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(1 + t) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + t^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [1 + t]$

Etapa 4.8

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + t$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t]$ .

$(1 + t) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + t^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t])$

Etapa 4.9

Como $1$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $1$ em relação a $t$ é $0$ .

$(1 + t) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + t^{\frac{1}{2}} (0 + \frac{d}{d t} [t])$

Etapa 4.10

Some $0$ e $\frac{d}{d t} [t]$ .

$(1 + t) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + t^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 4.11

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$(1 + t) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + t^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Etapa 4.12

Multiplique $t^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$(1 + t) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + t^{\frac{1}{2}}$

Etapa 4.13

Simplifique.

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Etapa 4.13.1

Aplique a propriedade distributiva.

$1 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + t \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + t^{\frac{1}{2}}$

Etapa 4.13.2

Combine os termos.

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Etapa 4.13.2.1

Multiplique $\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ por $1$ .

$\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + t \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + t^{\frac{1}{2}}$

Etapa 4.13.2.2

Combine $t$ e $\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + \frac{t}{2 t^{\frac{1}{2}}} + t^{\frac{1}{2}}$

Etapa 4.13.2.3

Mova $t^{\frac{1}{2}}$ para o numerador usando a regra do expoente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + \frac{t \cdot t^{- \frac{1}{2}}}{2} + t^{\frac{1}{2}}$

Etapa 4.13.2.4

Multiplique $t$ por $t^{- \frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 4.13.2.4.1

Multiplique $t$ por $t^{- \frac{1}{2}}$ .

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Etapa 4.13.2.4.1.1

Eleve $t$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + \frac{t^{1} t^{- \frac{1}{2}}}{2} + t^{\frac{1}{2}}$

Etapa 4.13.2.4.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + \frac{t^{1 - \frac{1}{2}}}{2} + t^{\frac{1}{2}}$

Etapa 4.13.2.4.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + \frac{t^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2} + t^{\frac{1}{2}}$

Etapa 4.13.2.4.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + \frac{t^{\frac{2 - 1}{2}}}{2} + t^{\frac{1}{2}}$

Etapa 4.13.2.4.4

Subtraia $1$ de $2$ .

$\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + \frac{t^{\frac{1}{2}}}{2} + t^{\frac{1}{2}}$

Etapa 4.13.2.5

Para escrever $t^{\frac{1}{2}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + \frac{t^{\frac{1}{2}}}{2} + t^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2}{2}$

Etapa 4.13.2.6

Combine $t^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + \frac{t^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{t^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2}$

Etapa 4.13.2.7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + \frac{t^{\frac{1}{2}} + t^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2}$

Etapa 4.13.2.8

Mova $2$ para a esquerda de $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + \frac{t^{\frac{1}{2}} + 2 \cdot t^{\frac{1}{2}}}{2}$

Etapa 4.13.2.9

Some $t^{\frac{1}{2}}$ e $2 t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 t^{\frac{1}{2}}}{2}$

Etapa 5

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$x' = \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 t^{\frac{1}{2}}}{2}$

Etapa 6

Substitua $x'$ por $\frac{d x}{d t}$ .

$\frac{d x}{d t} = \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 t^{\frac{1}{2}}}{2}$