Cálculo Exemplos

$\frac{8 x^{3} - 27}{2 x^{2} - x - 3} < \frac{3}{2}$

Etapa 1

Subtraia $\frac{3}{2}$ dos dois lados da desigualdade.

$\frac{8 x^{3} - 27}{2 x^{2} - x - 3} - \frac{3}{2} < 0$

Etapa 2

Simplifique $\frac{8 x^{3} - 27}{2 x^{2} - x - 3} - \frac{3}{2}$ .

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Etapa 2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.1.1.1

Reescreva $8 x^{3}$ como ${(2 x)}^{3}$ .

$\frac{{(2 x)}^{3} - 27}{2 x^{2} - x - 3} - \frac{3}{2} < 0$

Etapa 2.1.1.2

Reescreva $27$ como $3^{3}$ .

$\frac{{(2 x)}^{3} - 3^{3}}{2 x^{2} - x - 3} - \frac{3}{2} < 0$

Etapa 2.1.1.3

Como os dois termos são cubos perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ em que $a = 2 x$ e $b = 3$ .

$\frac{(2 x - 3) ({(2 x)}^{2} + 2 x \cdot 3 + 3^{2})}{2 x^{2} - x - 3} - \frac{3}{2} < 0$

Etapa 2.1.1.4

Simplifique.

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Etapa 2.1.1.4.1

Aplique a regra do produto a $2 x$ .

$\frac{(2 x - 3) (2^{2} x^{2} + 2 x \cdot 3 + 3^{2})}{2 x^{2} - x - 3} - \frac{3}{2} < 0$

Etapa 2.1.1.4.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\frac{(2 x - 3) (4 x^{2} + 2 x \cdot 3 + 3^{2})}{2 x^{2} - x - 3} - \frac{3}{2} < 0$

Etapa 2.1.1.4.3

Multiplique $3$ por $2$ .

$\frac{(2 x - 3) (4 x^{2} + 6 x + 3^{2})}{2 x^{2} - x - 3} - \frac{3}{2} < 0$

Etapa 2.1.1.4.4

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$\frac{(2 x - 3) (4 x^{2} + 6 x + 9)}{2 x^{2} - x - 3} - \frac{3}{2} < 0$

Etapa 2.1.2

Fatore por agrupamento.

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Etapa 2.1.2.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 2 \cdot - 3 = - 6$ e cuja soma é $b = - 1$ .

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Etapa 2.1.2.1.1

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$\frac{(2 x - 3) (4 x^{2} + 6 x + 9)}{2 x^{2} - (x) - 3} - \frac{3}{2} < 0$

Etapa 2.1.2.1.2

Reescreva $- 1$ como $2$ mais $- 3$

$\frac{(2 x - 3) (4 x^{2} + 6 x + 9)}{2 x^{2} + (2 - 3) x - 3} - \frac{3}{2} < 0$

Etapa 2.1.2.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(2 x - 3) (4 x^{2} + 6 x + 9)}{2 x^{2} + 2 x - 3 x - 3} - \frac{3}{2} < 0$

Etapa 2.1.2.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 2.1.2.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$\frac{(2 x - 3) (4 x^{2} + 6 x + 9)}{(2 x^{2} + 2 x) - 3 x - 3} - \frac{3}{2} < 0$

Etapa 2.1.2.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$\frac{(2 x - 3) (4 x^{2} + 6 x + 9)}{2 x (x + 1) - 3 (x + 1)} - \frac{3}{2} < 0$

Etapa 2.1.2.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $x + 1$ .

$\frac{(2 x - 3) (4 x^{2} + 6 x + 9)}{(x + 1) (2 x - 3)} - \frac{3}{2} < 0$

Etapa 2.1.3

Cancele o fator comum de $2 x - 3$ .

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Etapa 2.1.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(2 x - 3) (4 x^{2} + 6 x + 9)}{(x + 1) (2 x - 3)} - \frac{3}{2} < 0$

Etapa 2.1.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{4 x^{2} + 6 x + 9}{x + 1} - \frac{3}{2} < 0$

Etapa 2.2

Para escrever $\frac{4 x^{2} + 6 x + 9}{x + 1}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{4 x^{2} + 6 x + 9}{x + 1} \cdot \frac{2}{2} - \frac{3}{2} < 0$

Etapa 2.3

Para escrever $- \frac{3}{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{4 x^{2} + 6 x + 9}{x + 1} \cdot \frac{2}{2} - \frac{3}{2} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} < 0$

Etapa 2.4

Escreva cada expressão com um denominador comum de $(x + 1) \cdot 2$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 2.4.1

Multiplique $\frac{4 x^{2} + 6 x + 9}{x + 1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(4 x^{2} + 6 x + 9) \cdot 2}{(x + 1) \cdot 2} - \frac{3}{2} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} < 0$

Etapa 2.4.2

Multiplique $\frac{3}{2}$ por $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{(4 x^{2} + 6 x + 9) \cdot 2}{(x + 1) \cdot 2} - \frac{3 (x + 1)}{2 (x + 1)} < 0$

Etapa 2.4.3

Reordene os fatores de $(x + 1) \cdot 2$ .

$\frac{(4 x^{2} + 6 x + 9) \cdot 2}{2 (x + 1)} - \frac{3 (x + 1)}{2 (x + 1)} < 0$

Etapa 2.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{(4 x^{2} + 6 x + 9) \cdot 2 - 3 (x + 1)}{2 (x + 1)} < 0$

Etapa 2.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{4 x^{2} \cdot 2 + 6 x \cdot 2 + 9 \cdot 2 - 3 (x + 1)}{2 (x + 1)} < 0$

Etapa 2.6.2

Simplifique.

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Etapa 2.6.2.1

Multiplique $2$ por $4$ .

$\frac{8 x^{2} + 6 x \cdot 2 + 9 \cdot 2 - 3 (x + 1)}{2 (x + 1)} < 0$

Etapa 2.6.2.2

Multiplique $2$ por $6$ .

$\frac{8 x^{2} + 12 x + 9 \cdot 2 - 3 (x + 1)}{2 (x + 1)} < 0$

Etapa 2.6.2.3

Multiplique $9$ por $2$ .

$\frac{8 x^{2} + 12 x + 18 - 3 (x + 1)}{2 (x + 1)} < 0$

Etapa 2.6.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{8 x^{2} + 12 x + 18 - 3 x - 3 \cdot 1}{2 (x + 1)} < 0$

Etapa 2.6.4

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$\frac{8 x^{2} + 12 x + 18 - 3 x - 3}{2 (x + 1)} < 0$

Etapa 2.6.5

Subtraia $3 x$ de $12 x$ .

$\frac{8 x^{2} + 9 x + 18 - 3}{2 (x + 1)} < 0$

Etapa 2.6.6

Subtraia $3$ de $18$ .

$\frac{8 x^{2} + 9 x + 15}{2 (x + 1)} < 0$

Etapa 3

Encontre todos os valores em que a expressão muda de negativo para positivo, definindo cada fator igual a $0$ . Depois, resolva.

$8 x^{2} + 9 x + 15 = 0$

$x + 1 = 0$

Etapa 4

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 5

Substitua os valores $a = 8$ , $b = 9$ e $c = 15$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot (8 \cdot 15)}}{2 \cdot 8}$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.1.1

Eleve $9$ à potência de $2$ .

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot 8 \cdot 15}}{2 \cdot 8}$

Etapa 6.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 8 \cdot 15$ .

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Etapa 6.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $8$ .

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 32 \cdot 15}}{2 \cdot 8}$

Etapa 6.1.2.2

Multiplique $- 32$ por $15$ .

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 480}}{2 \cdot 8}$

Etapa 6.1.3

Subtraia $480$ de $81$ .

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{- 399}}{2 \cdot 8}$

Etapa 6.1.4

Reescreva $- 399$ como $- 1 (399)$ .

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{- 1 \cdot 399}}{2 \cdot 8}$

Etapa 6.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (399)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{399}$ .

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{399}}{2 \cdot 8}$

Etapa 6.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 9 \pm i \sqrt{399}}{2 \cdot 8}$

Etapa 6.2

Multiplique $2$ por $8$ .

$x = \frac{- 9 \pm i \sqrt{399}}{16}$

Etapa 7

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$x = - \frac{9 - i \sqrt{399}}{16}, - \frac{9 + i \sqrt{399}}{16}$

Etapa 8

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x = - 1$

Etapa 9

Resolva cada fator para encontrar os valores em que a expressão de valor absoluto passa de negativa para positiva.

$x = - \frac{9 - i \sqrt{399}}{16}, - \frac{9 + i \sqrt{399}}{16}$

$x = - 1$

Etapa 10

Encontre o domínio de $\frac{8 x^{2} + 9 x + 15}{2 (x + 1)}$ .

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Etapa 10.1

Defina o denominador em $\frac{8 x^{2} + 9 x + 15}{2 (x + 1)}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$2 (x + 1) = 0$

Etapa 10.2

Resolva $x$ .

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Etapa 10.2.1

Divida cada termo em $2 (x + 1) = 0$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 10.2.1.1

Divida cada termo em $2 (x + 1) = 0$ por $2$ .

$\frac{2 (x + 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Etapa 10.2.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 10.2.1.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 10.2.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (x + 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Etapa 10.2.1.2.1.2

Divida $x + 1$ por $1$ .

$x + 1 = \frac{0}{2}$

Etapa 10.2.1.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 10.2.1.3.1

Divida $0$ por $2$ .

$x + 1 = 0$

Etapa 10.2.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x = - 1$

Etapa 10.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$

Etapa 11

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$x < - 1$

Etapa 12

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Fórmula da desigualdade:

$x < - 1$

Notação de intervalo:

$(- \infty, - 1)$

Etapa 13