Cálculo Exemplos

$e^{2 x} - 3 e^{x} + 2 < 0$

Etapa 1

Reescreva $e^{2 x}$ como exponenciação.

${(e^{x})}^{2} - 3 e^{x} + 2 = 0$

Etapa 2

Substitua $u$ por $e^{x}$ .

$u^{2} - 3 u + 2 = 0$

Etapa 3

Resolva $u$ .

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Etapa 3.1

Fatore $u^{2} - 3 u + 2$ usando o método AC.

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Etapa 3.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $2$ e cuja soma é $- 3$ .

$- 2, - 1$

Etapa 3.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(u - 2) (u - 1) = 0$

Etapa 3.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$u - 2 = 0$

$u - 1 = 0$

Etapa 3.3

Defina $u - 2$ como igual a $0$ e resolva para $u$ .

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Etapa 3.3.1

Defina $u - 2$ como igual a $0$ .

$u - 2 = 0$

Etapa 3.3.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$u = 2$

Etapa 3.4

Defina $u - 1$ como igual a $0$ e resolva para $u$ .

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Etapa 3.4.1

Defina $u - 1$ como igual a $0$ .

$u - 1 = 0$

Etapa 3.4.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$u = 1$

Etapa 3.5

A solução final são todos os valores que tornam $(u - 2) (u - 1) = 0$ verdadeiro.

$u = 2, 1$

Etapa 4

Substitua $2$ por $u$ em $u = e^{x}$ .

$2 = e^{x}$

Etapa 5

Resolva $2 = e^{x}$ .

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Etapa 5.1

Reescreva a equação como $e^{x} = 2$ .

$e^{x} = 2$

Etapa 5.2

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{x}) = \ln (2)$

Etapa 5.3

Expanda o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.1

Expanda $\ln (e^{x})$ movendo $x$ para fora do logaritmo.

$x \ln (e) = \ln (2)$

Etapa 5.3.2

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (2)$

Etapa 5.3.3

Multiplique $x$ por $1$ .

$x = \ln (2)$

Etapa 6

Substitua $1$ por $u$ em $u = e^{x}$ .

$1 = e^{x}$

Etapa 7

Resolva $1 = e^{x}$ .

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Etapa 7.1

Reescreva a equação como $e^{x} = 1$ .

$e^{x} = 1$

Etapa 7.2

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{x}) = \ln (1)$

Etapa 7.3

Expanda o lado esquerdo.

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Etapa 7.3.1

Expanda $\ln (e^{x})$ movendo $x$ para fora do logaritmo.

$x \ln (e) = \ln (1)$

Etapa 7.3.2

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (1)$

Etapa 7.3.3

Multiplique $x$ por $1$ .

$x = \ln (1)$

Etapa 7.4

O logaritmo natural de $1$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 8

Liste as soluções que tornam a equação verdadeira.

$x = \ln (2), 0$

Etapa 9

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < 0$

$0 < x < \ln (2)$

$x > \ln (2)$

Etapa 10

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 10.1

Teste um valor no intervalo $x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 10.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 2$

Etapa 10.1.2

Substitua $x$ por $- 2$ na desigualdade original.

$e^{2 (- 2)} - 3 e^{- 2} + 2 < 0$

Etapa 10.1.3

O lado esquerdo $1.61230978$ não é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 10.2

Teste um valor no intervalo $0 < x < \ln (2)$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 10.2.1

Escolha um valor no intervalo $0 < x < \ln (2)$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0.35$

Etapa 10.2.2

Substitua $x$ por $0.35$ na desigualdade original.

$e^{2 (0.35)} - 3 e^{0.35} + 2 < 0$

Etapa 10.2.3

O lado esquerdo $- 0.24344993$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 10.3

Teste um valor no intervalo $x > \ln (2)$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 10.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > \ln (2)$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 3$

Etapa 10.3.2

Substitua $x$ por $3$ na desigualdade original.

$e^{2 (3)} - 3 e^{3} + 2 < 0$

Etapa 10.3.3

O lado esquerdo $345.17218272$ não é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 10.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < 0$ Falso

$0 < x < \ln (2)$ Verdadeiro

$x > \ln (2)$ Falso

$x < 0$ Falso

$0 < x < \ln (2)$ Verdadeiro

$x > \ln (2)$ Falso

Etapa 11

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$0 < x < \ln (2)$

Etapa 12

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Fórmula da desigualdade:

$0 < x < \ln (2)$

Notação de intervalo:

$(0, \ln (2))$

Etapa 13