Cálculo Exemplos

$\frac{| 2 x - 1 |}{2 - x} < 1$

Etapa 1

Subtraia $1$ dos dois lados da desigualdade.

$\frac{| 2 x - 1 |}{2 - x} - 1 < 0$

Etapa 2

Simplifique $\frac{| 2 x - 1 |}{2 - x} - 1$ .

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Etapa 2.1

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2 - x}{2 - x}$ .

$\frac{| 2 x - 1 |}{2 - x} - 1 \cdot \frac{2 - x}{2 - x} < 0$

Etapa 2.2

Combine $- 1$ e $\frac{2 - x}{2 - x}$ .

$\frac{| 2 x - 1 |}{2 - x} + \frac{- (2 - x)}{2 - x} < 0$

Etapa 2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{| 2 x - 1 | - (2 - x)}{2 - x} < 0$

Etapa 2.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{| 2 x - 1 | - 1 \cdot 2 - - x}{2 - x} < 0$

Etapa 2.4.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{| 2 x - 1 | - 2 - - x}{2 - x} < 0$

Etapa 2.4.3

Multiplique $- - x$ .

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Etapa 2.4.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{| 2 x - 1 | - 2 + 1 x}{2 - x} < 0$

Etapa 2.4.3.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$\frac{| 2 x - 1 | - 2 + x}{2 - x} < 0$

Etapa 2.4.4

Reordene os termos.

$\frac{x + | 2 x - 1 | - 2}{2 - x} < 0$

Etapa 3

Encontre todos os valores em que a expressão muda de negativo para positivo, definindo cada fator igual a $0$ . Depois, resolva.

$x + | 2 x - 1 | - 2 = 0$

$2 - x = 0$

Etapa 4

Mova todos os termos que não contêm $| 2 x - 1 |$ para o lado direito da equação.

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Etapa 4.1

Subtraia $x$ dos dois lados da equação.

$| 2 x - 1 | - 2 = - x$

Etapa 4.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$| 2 x - 1 | = - x + 2$

Etapa 5

Remova o termo de valor absoluto. Isso cria um $\pm$ no lado direito da equação, porque $| x | = \pm x$ .

$2 x - 1 = \pm (- x + 2)$

Etapa 6

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 6.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$2 x - 1 = - x + 2$

Etapa 6.2

Mova todos os termos que contêm $x$ para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 6.2.1

Some $x$ aos dois lados da equação.

$2 x - 1 + x = 2$

Etapa 6.2.2

Some $2 x$ e $x$ .

$3 x - 1 = 2$

Etapa 6.3

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$3 x = 2 + 1$

Etapa 6.3.2

Some $2$ e $1$ .

$3 x = 3$

Etapa 6.4

Divida cada termo em $3 x = 3$ por $3$ e simplifique.

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Etapa 6.4.1

Divida cada termo em $3 x = 3$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{3}{3}$

Etapa 6.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x}{3} = \frac{3}{3}$

Etapa 6.4.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{3}{3}$

Etapa 6.4.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.3.1

Divida $3$ por $3$ .

$x = 1$

Etapa 6.5

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$2 x - 1 = - (- x + 2)$

Etapa 6.6

Simplifique $- (- x + 2)$ .

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Etapa 6.6.1

Reescreva.

$2 x - 1 = 0 + 0 - (- x + 2)$

Etapa 6.6.2

Simplifique somando os zeros.

$2 x - 1 = - (- x + 2)$

Etapa 6.6.3

Aplique a propriedade distributiva.

$2 x - 1 = - - x - 1 \cdot 2$

Etapa 6.6.4

Multiplique $- - x$ .

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Etapa 6.6.4.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$2 x - 1 = 1 x - 1 \cdot 2$

Etapa 6.6.4.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$2 x - 1 = x - 1 \cdot 2$

Etapa 6.6.5

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$2 x - 1 = x - 2$

Etapa 6.7

Mova todos os termos que contêm $x$ para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 6.7.1

Subtraia $x$ dos dois lados da equação.

$2 x - 1 - x = - 2$

Etapa 6.7.2

Subtraia $x$ de $2 x$ .

$x - 1 = - 2$

Etapa 6.8

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da equação.

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Etapa 6.8.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = - 2 + 1$

Etapa 6.8.2

Some $- 2$ e $1$ .

$x = - 1$

Etapa 6.9

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 1, - 1$

Etapa 7

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$- x = - 2$

Etapa 8

Divida cada termo em $- x = - 2$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 8.1

Divida cada termo em $- x = - 2$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Etapa 8.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 8.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Etapa 8.2.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 2}{- 1}$

Etapa 8.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 8.3.1

Divida $- 2$ por $- 1$ .

$x = 2$

Etapa 9

Resolva cada fator para encontrar os valores em que a expressão de valor absoluto passa de negativa para positiva.

$x = 1, - 1$

$x = 2$

Etapa 10

Consolide as soluções.

$x = 1, - 1, 2$

Etapa 11

Encontre o domínio de $\frac{x + | 2 x - 1 | - 2}{2 - x}$ .

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Etapa 11.1

Defina o denominador em $\frac{x + | 2 x - 1 | - 2}{2 - x}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$2 - x = 0$

Etapa 11.2

Resolva $x$ .

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Etapa 11.2.1

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$- x = - 2$

Etapa 11.2.2

Divida cada termo em $- x = - 2$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 11.2.2.1

Divida cada termo em $- x = - 2$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Etapa 11.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 11.2.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Etapa 11.2.2.2.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 2}{- 1}$

Etapa 11.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 11.2.2.3.1

Divida $- 2$ por $- 1$ .

$x = 2$

Etapa 11.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Etapa 12

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 1$

$- 1 < x < 1$

$1 < x < 2$

$x > 2$

Etapa 13

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 13.1

Teste um valor no intervalo $x < - 1$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - 1$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 4$

Etapa 13.1.2

Substitua $x$ por $- 4$ na desigualdade original.

$\frac{| 2 (- 4) - 1 |}{2 - (- 4)} < 1$

Etapa 13.1.3

O lado esquerdo $1.5$ não é menor do que o lado direito $1$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 13.2

Teste um valor no intervalo $- 1 < x < 1$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 13.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 1 < x < 1$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 13.2.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

$\frac{| 2 (0) - 1 |}{2 - (0)} < 1$

Etapa 13.2.3

O lado esquerdo $0.5$ é menor do que o lado direito $1$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 13.3

Teste um valor no intervalo $1 < x < 2$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 13.3.1

Escolha um valor no intervalo $1 < x < 2$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 1.5$

Etapa 13.3.2

Substitua $x$ por $1.5$ na desigualdade original.

$\frac{| 2 (1.5) - 1 |}{2 - (1.5)} < 1$

Etapa 13.3.3

O lado esquerdo $4$ não é menor do que o lado direito $1$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 13.4

Teste um valor no intervalo $x > 2$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 13.4.1

Escolha um valor no intervalo $x > 2$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 4$

Etapa 13.4.2

Substitua $x$ por $4$ na desigualdade original.

$\frac{| 2 (4) - 1 |}{2 - (4)} < 1$

Etapa 13.4.3

O lado esquerdo $- 3.5$ é menor do que o lado direito $1$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 13.5

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 1$ Falso

$- 1 < x < 1$ Verdadeiro

$1 < x < 2$ Falso

$x > 2$ Verdadeiro

$x < - 1$ Falso

$- 1 < x < 1$ Verdadeiro

$1 < x < 2$ Falso

$x > 2$ Verdadeiro

Etapa 14

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$- 1 < x < 1$ ou $x > 2$

Etapa 15

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Fórmula da desigualdade:

$- 1 < x < 1 or x > 2$

Notação de intervalo:

$(- 1, 1) \cup (2, \infty)$

Etapa 16