Cálculo Exemplos

$x^{3} + 2 x^{2} - 9 x - 18 > 0$

Etapa 1

Converta a desigualdade em uma equação.

$x^{3} + 2 x^{2} - 9 x - 18 = 0$

Etapa 2

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 2.1.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(x^{3} + 2 x^{2}) - 9 x - 18 = 0$

Etapa 2.1.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$x^{2} (x + 2) - 9 (x + 2) = 0$

Etapa 2.2

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $x + 2$ .

$(x + 2) (x^{2} - 9) = 0$

Etapa 2.3

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$(x + 2) (x^{2} - 3^{2}) = 0$

Etapa 2.4

Fatore.

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Etapa 2.4.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 3$ .

$(x + 2) ((x + 3) (x - 3)) = 0$

Etapa 2.4.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(x + 2) (x + 3) (x - 3) = 0$

Etapa 3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

Etapa 4

Defina $x + 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 4.1

Defina $x + 2$ como igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Etapa 4.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$x = - 2$

Etapa 5

Defina $x + 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 5.1

Defina $x + 3$ como igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

Etapa 5.2

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$x = - 3$

Etapa 6

Defina $x - 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 6.1

Defina $x - 3$ como igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Etapa 6.2

Some $3$ aos dois lados da equação.

$x = 3$

Etapa 7

A solução final são todos os valores que tornam $(x + 2) (x + 3) (x - 3) = 0$ verdadeiro.

$x = - 2, - 3, 3$

Etapa 8

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 3$

$- 3 < x < - 2$

$- 2 < x < 3$

$x > 3$

Etapa 9

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 9.1

Teste um valor no intervalo $x < - 3$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 9.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - 3$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 6$

Etapa 9.1.2

Substitua $x$ por $- 6$ na desigualdade original.

${(- 6)}^{3} + 2 {(- 6)}^{2} - 9 \cdot - 6 - 18 > 0$

Etapa 9.1.3

O lado esquerdo $- 108$ não é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 9.2

Teste um valor no intervalo $- 3 < x < - 2$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 9.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 3 < x < - 2$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 2.5$

Etapa 9.2.2

Substitua $x$ por $- 2.5$ na desigualdade original.

${(- 2.5)}^{3} + 2 {(- 2.5)}^{2} - 9 \cdot - 2.5 - 18 > 0$

Etapa 9.2.3

O lado esquerdo $1.375$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 9.3

Teste um valor no intervalo $- 2 < x < 3$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 9.3.1

Escolha um valor no intervalo $- 2 < x < 3$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 9.3.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

${(0)}^{3} + 2 {(0)}^{2} - 9 \cdot 0 - 18 > 0$

Etapa 9.3.3

O lado esquerdo $- 18$ não é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 9.4

Teste um valor no intervalo $x > 3$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 9.4.1

Escolha um valor no intervalo $x > 3$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 6$

Etapa 9.4.2

Substitua $x$ por $6$ na desigualdade original.

${(6)}^{3} + 2 {(6)}^{2} - 9 \cdot 6 - 18 > 0$

Etapa 9.4.3

O lado esquerdo $216$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 9.5

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 3$ Falso

$- 3 < x < - 2$ Verdadeiro

$- 2 < x < 3$ Falso

$x > 3$ Verdadeiro

$x < - 3$ Falso

$- 3 < x < - 2$ Verdadeiro

$- 2 < x < 3$ Falso

$x > 3$ Verdadeiro

Etapa 10

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$- 3 < x < - 2$ ou $x > 3$

Etapa 11

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Fórmula da desigualdade:

$- 3 < x < - 2 or x > 3$

Notação de intervalo:

$(- 3, - 2) \cup (3, \infty)$

Etapa 12