Cálculo Exemplos

$- 2 x^{2} + 4000 x > 700000$

Etapa 1

Converta a desigualdade em uma equação.

$- 2 x^{2} + 4000 x = 700000$

Etapa 2

Subtraia $700000$ dos dois lados da equação.

$- 2 x^{2} + 4000 x - 700000 = 0$

Etapa 3

Fatore $- 2$ de $- 2 x^{2} + 4000 x - 700000$ .

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Etapa 3.1

Fatore $- 2$ de $4000 x$ .

$- 2 x^{2} - 2 (- 2000 x) - 700000 = 0$

Etapa 3.2

Fatore $- 2$ de $- 700000$ .

$- 2 x^{2} - 2 (- 2000 x) - 2 \cdot 350000 = 0$

Etapa 3.3

Fatore $- 2$ de $- 2 (x^{2}) - 2 (- 2000 x)$ .

$- 2 (x^{2} - 2000 x) - 2 \cdot 350000 = 0$

Etapa 3.4

Fatore $- 2$ de $- 2 (x^{2} - 2000 x) - 2 (350000)$ .

$- 2 (x^{2} - 2000 x + 350000) = 0$

Etapa 4

Divida cada termo em $- 2 (x^{2} - 2000 x + 350000) = 0$ por $- 2$ e simplifique.

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Etapa 4.1

Divida cada termo em $- 2 (x^{2} - 2000 x + 350000) = 0$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 (x^{2} - 2000 x + 350000)}{- 2} = \frac{0}{- 2}$

Etapa 4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.2.1

Cancele o fator comum de $- 2$ .

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Etapa 4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 2 (x^{2} - 2000 x + 350000)}{- 2} = \frac{0}{- 2}$

Etapa 4.2.1.2

Divida $x^{2} - 2000 x + 350000$ por $1$ .

$x^{2} - 2000 x + 350000 = \frac{0}{- 2}$

Etapa 4.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.3.1

Divida $0$ por $- 2$ .

$x^{2} - 2000 x + 350000 = 0$

Etapa 5

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 6

Substitua os valores $a = 1$ , $b = - 2000$ e $c = 350000$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{2000 \pm \sqrt{{(- 2000)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 350000)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.1.1

Eleve $- 2000$ à potência de $2$ .

$x = \frac{2000 \pm \sqrt{4000000 - 4 \cdot 1 \cdot 350000}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 350000$ .

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Etapa 7.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{2000 \pm \sqrt{4000000 - 4 \cdot 350000}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $350000$ .

$x = \frac{2000 \pm \sqrt{4000000 - 1400000}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.1.3

Subtraia $1400000$ de $4000000$ .

$x = \frac{2000 \pm \sqrt{2600000}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.1.4

Reescreva $2600000$ como $200^{2} \cdot 65$ .

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Etapa 7.1.4.1

Fatore $40000$ de $2600000$ .

$x = \frac{2000 \pm \sqrt{40000 (65)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.1.4.2

Reescreva $40000$ como $200^{2}$ .

$x = \frac{2000 \pm \sqrt{200^{2} \cdot 65}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{2000 \pm 200 \sqrt{65}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{2000 \pm 200 \sqrt{65}}{2}$

Etapa 7.3

Simplifique $\frac{2000 \pm 200 \sqrt{65}}{2}$ .

$x = 1000 \pm 100 \sqrt{65}$

Etapa 8

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$x = 1000 + 100 \sqrt{65}, 1000 - 100 \sqrt{65}$

Etapa 9

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < 1000 - 100 \sqrt{65}$

$1000 - 100 \sqrt{65} < x < 1000 + 100 \sqrt{65}$

$x > 1000 + 100 \sqrt{65}$

Etapa 10

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 10.1

Teste um valor no intervalo $x < 1000 - 100 \sqrt{65}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 10.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < 1000 - 100 \sqrt{65}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 10.1.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

$- 2 {(0)}^{2} + 4000 (0) > 700000$

Etapa 10.1.3

O lado esquerdo $0$ não é maior do que o lado direito $700000$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 10.2

Teste um valor no intervalo $1000 - 100 \sqrt{65} < x < 1000 + 100 \sqrt{65}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 10.2.1

Escolha um valor no intervalo $1000 - 100 \sqrt{65} < x < 1000 + 100 \sqrt{65}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 196$

Etapa 10.2.2

Substitua $x$ por $196$ na desigualdade original.

$- 2 {(196)}^{2} + 4000 (196) > 700000$

Etapa 10.2.3

O lado esquerdo $707168$ é maior do que o lado direito $700000$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 10.3

Teste um valor no intervalo $x > 1000 + 100 \sqrt{65}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 10.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > 1000 + 100 \sqrt{65}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 1809$

Etapa 10.3.2

Substitua $x$ por $1809$ na desigualdade original.

$- 2 {(1809)}^{2} + 4000 (1809) > 700000$

Etapa 10.3.3

O lado esquerdo $691038$ não é maior do que o lado direito $700000$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 10.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < 1000 - 100 \sqrt{65}$ Falso

$1000 - 100 \sqrt{65} < x < 1000 + 100 \sqrt{65}$ Verdadeiro

$x > 1000 + 100 \sqrt{65}$ Falso

$x < 1000 - 100 \sqrt{65}$ Falso

$1000 - 100 \sqrt{65} < x < 1000 + 100 \sqrt{65}$ Verdadeiro

$x > 1000 + 100 \sqrt{65}$ Falso

Etapa 11

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$1000 - 100 \sqrt{65} < x < 1000 + 100 \sqrt{65}$

Etapa 12

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Fórmula da desigualdade:

$1000 - 100 \sqrt{65} < x < 1000 + 100 \sqrt{65}$

Notação de intervalo:

$(1000 - 100 \sqrt{65}, 1000 + 100 \sqrt{65})$

Etapa 13