Cálculo Exemplos

$2 x^{2} + 1 < 9 x - 3$

Etapa 1

Subtraia $9 x$ dos dois lados da desigualdade.

$2 x^{2} + 1 - 9 x < - 3$

Etapa 2

Converta a desigualdade em uma equação.

$2 x^{2} + 1 - 9 x = - 3$

Etapa 3

Some $3$ aos dois lados da equação.

$2 x^{2} + 1 - 9 x + 3 = 0$

Etapa 4

Some $1$ e $3$ .

$2 x^{2} - 9 x + 4 = 0$

Etapa 5

Fatore por agrupamento.

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Etapa 5.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 2 \cdot 4 = 8$ e cuja soma é $b = - 9$ .

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Etapa 5.1.1

Fatore $- 9$ de $- 9 x$ .

$2 x^{2} - 9 x + 4 = 0$

Etapa 5.1.2

Reescreva $- 9$ como $- 1$ mais $- 8$

$2 x^{2} + (- 1 - 8) x + 4 = 0$

Etapa 5.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$2 x^{2} - 1 x - 8 x + 4 = 0$

Etapa 5.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 5.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(2 x^{2} - 1 x) - 8 x + 4 = 0$

Etapa 5.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$x (2 x - 1) - 4 (2 x - 1) = 0$

Etapa 5.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $2 x - 1$ .

$(2 x - 1) (x - 4) = 0$

Etapa 6

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$2 x - 1 = 0$

$x - 4 = 0$

Etapa 7

Defina $2 x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 7.1

Defina $2 x - 1$ como igual a $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Etapa 7.2

Resolva $2 x - 1 = 0$ para $x$ .

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Etapa 7.2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$2 x = 1$

Etapa 7.2.2

Divida cada termo em $2 x = 1$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 7.2.2.1

Divida cada termo em $2 x = 1$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 7.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 7.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 7.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 7.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Etapa 8

Defina $x - 4$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 8.1

Defina $x - 4$ como igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

Etapa 8.2

Some $4$ aos dois lados da equação.

$x = 4$

Etapa 9

A solução final são todos os valores que tornam $(2 x - 1) (x - 4) = 0$ verdadeiro.

$x = \frac{1}{2}, 4$

Etapa 10

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < \frac{1}{2}$

$\frac{1}{2} < x < 4$

$x > 4$

Etapa 11

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 11.1

Teste um valor no intervalo $x < \frac{1}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 11.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < \frac{1}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 11.1.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

$2 {(0)}^{2} + 1 < 9 (0) - 3$

Etapa 11.1.3

O lado esquerdo $1$ não é menor do que o lado direito $- 3$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 11.2

Teste um valor no intervalo $\frac{1}{2} < x < 4$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 11.2.1

Escolha um valor no intervalo $\frac{1}{2} < x < 4$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 2$

Etapa 11.2.2

Substitua $x$ por $2$ na desigualdade original.

$2 {(2)}^{2} + 1 < 9 (2) - 3$

Etapa 11.2.3

O lado esquerdo $9$ é menor do que o lado direito $15$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 11.3

Teste um valor no intervalo $x > 4$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 11.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > 4$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 6$

Etapa 11.3.2

Substitua $x$ por $6$ na desigualdade original.

$2 {(6)}^{2} + 1 < 9 (6) - 3$

Etapa 11.3.3

O lado esquerdo $73$ não é menor do que o lado direito $51$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 11.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < \frac{1}{2}$ Falso

$\frac{1}{2} < x < 4$ Verdadeiro

$x > 4$ Falso

$x < \frac{1}{2}$ Falso

$\frac{1}{2} < x < 4$ Verdadeiro

$x > 4$ Falso

Etapa 12

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$\frac{1}{2} < x < 4$

Etapa 13

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Fórmula da desigualdade:

$\frac{1}{2} < x < 4$

Notação de intervalo:

$(\frac{1}{2}, 4)$

Etapa 14