Cálculo Exemplos

$\sin (2 x) \geq \sin (x)$

Etapa 1

Subtraia $\sin (x)$ dos dois lados da desigualdade.

$\sin (2 x) - \sin (x) \geq 0$

Etapa 2

Aplique a fórmula do arco duplo do seno.

$2 \sin (x) \cos (x) - \sin (x) \geq 0$

Etapa 3

Fatore $\sin (x)$ de $2 \sin (x) \cos (x) - \sin (x)$ .

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Etapa 3.1

Fatore $\sin (x)$ de $2 \sin (x) \cos (x)$ .

$\sin (x) (2 \cos (x)) - \sin (x) = 0$

Etapa 3.2

Fatore $\sin (x)$ de $- \sin (x)$ .

$\sin (x) (2 \cos (x)) + \sin (x) \cdot - 1 = 0$

Etapa 3.3

Fatore $\sin (x)$ de $\sin (x) (2 \cos (x)) + \sin (x) \cdot - 1$ .

$\sin (x) (2 \cos (x) - 1) = 0$

Etapa 4

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$\sin (x) = 0$

$2 \cos (x) - 1 = 0$

Etapa 5

Defina $\sin (x)$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 5.1

Defina $\sin (x)$ como igual a $0$ .

$\sin (x) = 0$

Etapa 5.2

Resolva $\sin (x) = 0$ para $x$ .

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Etapa 5.2.1

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$x = \arcsin (0)$

Etapa 5.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.2.2.1

O valor exato de $\arcsin (0)$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 5.2.3

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$x = π - 0$

Etapa 5.2.4

Subtraia $0$ de $π$ .

$x = π$

Etapa 5.2.5

Encontre o período de $\sin (x)$ .

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Etapa 5.2.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 5.2.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 5.2.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 5.2.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 5.2.6

O período da função $\sin (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 6

Defina $2 \cos (x) - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 6.1

Defina $2 \cos (x) - 1$ como igual a $0$ .

$2 \cos (x) - 1 = 0$

Etapa 6.2

Resolva $2 \cos (x) - 1 = 0$ para $x$ .

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Etapa 6.2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$2 \cos (x) = 1$

Etapa 6.2.2

Divida cada termo em $2 \cos (x) = 1$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 6.2.2.1

Divida cada termo em $2 \cos (x) = 1$ por $2$ .

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 6.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 6.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 6.2.2.2.1.2

Divida $\cos (x)$ por $1$ .

$\cos (x) = \frac{1}{2}$

Etapa 6.2.3

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do cosseno.

$x = \arccos (\frac{1}{2})$

Etapa 6.2.4

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.2.4.1

O valor exato de $\arccos (\frac{1}{2})$ é $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Etapa 6.2.5

A função do cosseno é positiva no primeiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{3}$

Etapa 6.2.6

Simplifique $2 π - \frac{π}{3}$ .

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Etapa 6.2.6.1

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Etapa 6.2.6.2

Combine frações.

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Etapa 6.2.6.2.1

Combine $2 π$ e $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Etapa 6.2.6.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Etapa 6.2.6.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.2.6.3.1

Multiplique $3$ por $2$ .

$x = \frac{6 π - π}{3}$

Etapa 6.2.6.3.2

Subtraia $π$ de $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{3}$

Etapa 6.2.7

Encontre o período de $\cos (x)$ .

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Etapa 6.2.7.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 6.2.7.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 6.2.7.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 6.2.7.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 6.2.8

O período da função $\cos (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 7

A solução final são todos os valores que tornam $\sin (x) (2 \cos (x) - 1) = 0$ verdadeiro.

$x = 2 π n, π + 2 π n, \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 8

Consolide $2 π n$ e $π + 2 π n$ em $π n$ .

$x = π n, \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 9

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$0 < x < \frac{π}{3}$

$\frac{π}{3} < x < π$

$π < x < \frac{5 π}{3}$

$\frac{5 π}{3} < x < 2 π$

$2 π < x < \frac{7 π}{3}$

$\frac{7 π}{3} < x < \frac{11 π}{3}$

Etapa 10

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 10.1

Teste um valor no intervalo $0 < x < \frac{π}{3}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 10.1.1

Escolha um valor no intervalo $0 < x < \frac{π}{3}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 1$

Etapa 10.1.2

Substitua $x$ por $1$ na desigualdade original.

$\sin (2 (1)) \geq \sin (1)$

Etapa 10.1.3

O lado esquerdo $0.90929742$ é maior do que o lado direito $0.84147098$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 10.2

Teste um valor no intervalo $\frac{π}{3} < x < π$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 10.2.1

Escolha um valor no intervalo $\frac{π}{3} < x < π$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 2$

Etapa 10.2.2

Substitua $x$ por $2$ na desigualdade original.

$\sin (2 (2)) \geq \sin (2)$

Etapa 10.2.3

O lado esquerdo $- 0.75680249$ é menor do que o lado direito $0.90929742$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 10.3

Teste um valor no intervalo $π < x < \frac{5 π}{3}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 10.3.1

Escolha um valor no intervalo $π < x < \frac{5 π}{3}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 4$

Etapa 10.3.2

Substitua $x$ por $4$ na desigualdade original.

$\sin (2 (4)) \geq \sin (4)$

Etapa 10.3.3

O lado esquerdo $0.98935824$ é maior do que o lado direito $- 0.75680249$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 10.4

Teste um valor no intervalo $\frac{5 π}{3} < x < 2 π$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 10.4.1

Escolha um valor no intervalo $\frac{5 π}{3} < x < 2 π$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 6$

Etapa 10.4.2

Substitua $x$ por $6$ na desigualdade original.

$\sin (2 (6)) \geq \sin (6)$

Etapa 10.4.3

O lado esquerdo $- 0.53657291$ é menor do que o lado direito $- 0.27941549$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 10.5

Teste um valor no intervalo $2 π < x < \frac{7 π}{3}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 10.5.1

Escolha um valor no intervalo $2 π < x < \frac{7 π}{3}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 7$

Etapa 10.5.2

Substitua $x$ por $7$ na desigualdade original.

$\sin (2 (7)) \geq \sin (7)$

Etapa 10.5.3

O lado esquerdo $0.99060735$ é maior do que o lado direito $0.65698659$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 10.6

Teste um valor no intervalo $\frac{7 π}{3} < x < \frac{11 π}{3}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 10.6.1

Escolha um valor no intervalo $\frac{7 π}{3} < x < \frac{11 π}{3}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 9$

Etapa 10.6.2

Substitua $x$ por $9$ na desigualdade original.

$\sin (2 (9)) \geq \sin (9)$

Etapa 10.6.3

O lado esquerdo $- 0.75098724$ é menor do que o lado direito $0.41211848$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 10.7

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$0 < x < \frac{π}{3}$ Verdadeiro

$\frac{π}{3} < x < π$ Falso

$π < x < \frac{5 π}{3}$ Verdadeiro

$\frac{5 π}{3} < x < 2 π$ Falso

$2 π < x < \frac{7 π}{3}$ Verdadeiro

$\frac{7 π}{3} < x < \frac{11 π}{3}$ Falso

$0 < x < \frac{π}{3}$ Verdadeiro

$\frac{π}{3} < x < π$ Falso

$π < x < \frac{5 π}{3}$ Verdadeiro

$\frac{5 π}{3} < x < 2 π$ Falso

$2 π < x < \frac{7 π}{3}$ Verdadeiro

$\frac{7 π}{3} < x < \frac{11 π}{3}$ Falso

Etapa 11

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$0 + 2 π n \leq x \leq \frac{π}{3} + 2 π n$ or $π + 2 π n \leq x \leq \frac{5 π}{3} + 2 π n$ or $2 π + 2 π n \leq x \leq \frac{7 π}{3} + 2 π n$ , for any integer $n$

Etapa 12

Combine os intervalos.

$π + 2 π n \leq x \leq \frac{5 π}{3} + 2 π n or 2 π n \leq x \leq \frac{π}{3} + 2 π n or 2 π + 2 π n \leq x \leq \frac{7 π}{3} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 13