Cálculo Exemplos

$y = \frac{1}{2 \sqrt{2 x - x^{2}}}$

Etapa 1

Reescreva a equação como $\frac{1}{2 \sqrt{2 x - x^{2}}} = y$ .

$\frac{1}{2 \sqrt{2 x - x^{2}}} = y$

Etapa 2

Calcule a regra de três.

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Etapa 2.1

Calcule a regra de três definindo o produto do numerador do lado direito e o denominador do lado esquerdo como igual ao produto do numerador do lado esquerdo e o denominador do lado direito.

$y \cdot (2 \sqrt{2 x - x^{2}}) = 1$

Etapa 2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Simplifique $y \cdot (2 \sqrt{2 x - x^{2}})$ .

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Etapa 2.2.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$2 y \sqrt{2 x - x^{2}} = 1$

Etapa 2.2.1.2

Fatore $x$ de $2 x - x^{2}$ .

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Etapa 2.2.1.2.1

Fatore $x$ de $2 x$ .

$2 y \sqrt{x \cdot 2 - x^{2}} = 1$

Etapa 2.2.1.2.2

Fatore $x$ de $- x^{2}$ .

$2 y \sqrt{x \cdot 2 + x (- x)} = 1$

Etapa 2.2.1.2.3

Fatore $x$ de $x \cdot 2 + x (- x)$ .

$2 y \sqrt{x (2 - x)} = 1$

Etapa 3

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao quadrado os dois lados da equação.

${(2 y \sqrt{x (2 - x)})}^{2} = 1^{2}$

Etapa 4

Simplifique cada lado da equação.

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Etapa 4.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x (2 - x)}$ como ${(x (2 - x))}^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 y {(x (2 - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 1^{2}$

Etapa 4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.2.1

Simplifique ${(2 y {(x (2 - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 4.2.1.1

Simplifique multiplicando.

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Etapa 4.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

${(2 y {(x \cdot 2 + x (- x))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 1^{2}$

Etapa 4.2.1.1.2

Reordene.

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Etapa 4.2.1.1.2.1

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

${(2 y {(2 \cdot x + x (- x))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 1^{2}$

Etapa 4.2.1.1.2.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

${(2 y {(2 \cdot x - x \cdot x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 1^{2}$

Etapa 4.2.1.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 4.2.1.2.1

Mova $x$ .

${(2 y {(2 x - (x \cdot x))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 1^{2}$

Etapa 4.2.1.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

${(2 y {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 1^{2}$

Etapa 4.2.1.3

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

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Etapa 4.2.1.3.1

Aplique a regra do produto a $2 y {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 y)}^{2} {({(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 1^{2}$

Etapa 4.2.1.3.2

Aplique a regra do produto a $2 y$ .

$2^{2} y^{2} {({(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 1^{2}$

Etapa 4.2.1.4

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$4 y^{2} {({(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 1^{2}$

Etapa 4.2.1.5

Multiplique os expoentes em ${({(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 4.2.1.5.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 y^{2} {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 1^{2}$

Etapa 4.2.1.5.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.2.1.5.2.1

Cancele o fator comum.

$4 y^{2} {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 1^{2}$

Etapa 4.2.1.5.2.2

Reescreva a expressão.

$4 y^{2} {(2 x - x^{2})}^{1} = 1^{2}$

Etapa 4.2.1.6

Simplifique.

$4 y^{2} (2 x - x^{2}) = 1^{2}$

Etapa 4.2.1.7

Simplifique multiplicando.

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Etapa 4.2.1.7.1

Aplique a propriedade distributiva.

$4 y^{2} (2 x) + 4 y^{2} (- x^{2}) = 1^{2}$

Etapa 4.2.1.7.2

Reordene.

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Etapa 4.2.1.7.2.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$4 \cdot 2 y^{2} x + 4 y^{2} (- x^{2}) = 1^{2}$

Etapa 4.2.1.7.2.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$4 \cdot 2 y^{2} x + 4 \cdot - 1 y^{2} x^{2} = 1^{2}$

Etapa 4.2.1.8

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.1.8.1

Multiplique $4$ por $2$ .

$8 y^{2} x + 4 \cdot - 1 y^{2} x^{2} = 1^{2}$

Etapa 4.2.1.8.2

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$8 y^{2} x - 4 y^{2} x^{2} = 1^{2}$

Etapa 4.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.3.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$8 y^{2} x - 4 y^{2} x^{2} = 1$

Etapa 5

Resolva $x$ .

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Etapa 5.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$8 y^{2} x - 4 y^{2} x^{2} - 1 = 0$

Etapa 5.2

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 5.3

Substitua os valores $a = - 4 y^{2}$ , $b = 8 y^{2}$ e $c = - 1$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{- 8 y^{2} \pm \sqrt{{(8 y^{2})}^{2} - 4 \cdot (- 4 y^{2} \cdot - 1)}}{2 (- 4 y^{2})}$

Etapa 5.4

Simplifique.

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Etapa 5.4.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.4.1.1

Reescreva $- 4 \cdot - 4 y^{2}$ como ${(4 y)}^{2}$ .

$x = \frac{- 8 y^{2} \pm \sqrt{{(8 y^{2})}^{2} - {(4 y)}^{2}}}{2 (- 4 y^{2})}$

Etapa 5.4.1.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 8 y^{2}$ e $b = 4 y$ .

$x = \frac{- 8 y^{2} \pm \sqrt{(8 y^{2} + 4 y) (8 y^{2} - (4 y))}}{2 (- 4 y^{2})}$

Etapa 5.4.1.3

Simplifique.

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Etapa 5.4.1.3.1

Fatore $4 y$ de $8 y^{2} + 4 y$ .

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Etapa 5.4.1.3.1.1

Fatore $4 y$ de $8 y^{2}$ .

$x = \frac{- 8 y^{2} \pm \sqrt{(4 y (2 y) + 4 y) (8 y^{2} - (4 y))}}{2 (- 4 y^{2})}$

Etapa 5.4.1.3.1.2

Fatore $4 y$ de $4 y$ .

$x = \frac{- 8 y^{2} \pm \sqrt{(4 y (2 y) + 4 y (1)) (8 y^{2} - (4 y))}}{2 (- 4 y^{2})}$

Etapa 5.4.1.3.1.3

Fatore $4 y$ de $4 y (2 y) + 4 y (1)$ .

$x = \frac{- 8 y^{2} \pm \sqrt{4 y (2 y + 1) (8 y^{2} - (4 y))}}{2 (- 4 y^{2})}$

Etapa 5.4.1.3.2

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$x = \frac{- 8 y^{2} \pm \sqrt{4 y (2 y + 1) (8 y^{2} - 4 y)}}{2 (- 4 y^{2})}$

Etapa 5.4.1.4

Fatore $4 y$ de $8 y^{2} - 4 y$ .

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Etapa 5.4.1.4.1

Fatore $4 y$ de $8 y^{2}$ .

$x = \frac{- 8 y^{2} \pm \sqrt{4 y (2 y + 1) (4 y (2 y) - 4 y)}}{2 (- 4 y^{2})}$

Etapa 5.4.1.4.2

Fatore $4 y$ de $- 4 y$ .

$x = \frac{- 8 y^{2} \pm \sqrt{4 y (2 y + 1) (4 y (2 y) + 4 y (- 1))}}{2 (- 4 y^{2})}$

Etapa 5.4.1.4.3

Fatore $4 y$ de $4 y (2 y) + 4 y (- 1)$ .

$x = \frac{- 8 y^{2} \pm \sqrt{4 y (2 y + 1) (4 y (2 y - 1))}}{2 (- 4 y^{2})}$

$x = \frac{- 8 y^{2} \pm \sqrt{4 y (2 y + 1) \cdot (4 y (2 y - 1))}}{2 (- 4 y^{2})}$

Etapa 5.4.1.5

Combine expoentes.

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Etapa 5.4.1.5.1

Multiplique $4$ por $4$ .

$x = \frac{- 8 y^{2} \pm \sqrt{16 y (2 y + 1) y (2 y - 1)}}{2 (- 4 y^{2})}$

Etapa 5.4.1.5.2

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$x = \frac{- 8 y^{2} \pm \sqrt{16 (y \cdot y) (2 y + 1) (2 y - 1)}}{2 (- 4 y^{2})}$

Etapa 5.4.1.5.3

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$x = \frac{- 8 y^{2} \pm \sqrt{16 (y \cdot y) (2 y + 1) (2 y - 1)}}{2 (- 4 y^{2})}$

Etapa 5.4.1.5.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x = \frac{- 8 y^{2} \pm \sqrt{16 y^{1 + 1} (2 y + 1) (2 y - 1)}}{2 (- 4 y^{2})}$

Etapa 5.4.1.5.5

Some $1$ e $1$ .

$x = \frac{- 8 y^{2} \pm \sqrt{16 y^{2} (2 y + 1) (2 y - 1)}}{2 (- 4 y^{2})}$

Etapa 5.4.1.6

Reescreva $16 y^{2} (2 y + 1) (2 y - 1)$ como ${(4 y)}^{2} ((2 y + 1) (2 y - 1))$ .

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Etapa 5.4.1.6.1

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$x = \frac{- 8 y^{2} \pm \sqrt{4^{2} y^{2} (2 y + 1) (2 y - 1)}}{2 (- 4 y^{2})}$

Etapa 5.4.1.6.2

Reescreva $4^{2} y^{2}$ como ${(4 y)}^{2}$ .

$x = \frac{- 8 y^{2} \pm \sqrt{{(4 y)}^{2} (2 y + 1) (2 y - 1)}}{2 (- 4 y^{2})}$

Etapa 5.4.1.6.3

Adicione parênteses.

$x = \frac{- 8 y^{2} \pm \sqrt{{(4 y)}^{2} ((2 y + 1) (2 y - 1))}}{2 (- 4 y^{2})}$

Etapa 5.4.1.7

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{- 8 y^{2} \pm 4 y \sqrt{(2 y + 1) (2 y - 1)}}{2 (- 4 y^{2})}$

Etapa 5.4.2

Multiplique $- 4$ por $2$ .

$x = \frac{- 8 y^{2} \pm 4 y \sqrt{(2 y + 1) (2 y - 1)}}{- 8 y^{2}}$

Etapa 5.4.3

Simplifique $\frac{- 8 y^{2} \pm 4 y \sqrt{(2 y + 1) (2 y - 1)}}{- 8 y^{2}}$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{(2 y + 1) (2 y - 1)}}{2 y}$

Etapa 5.5

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$x = \frac{2 y + \sqrt{(2 y + 1) (2 y - 1)}}{2 y}$

$x = \frac{2 y - \sqrt{(2 y + 1) (2 y - 1)}}{2 y}$

$x = \frac{2 y + \sqrt{(2 y + 1) (2 y - 1)}}{2 y}$

$x = \frac{2 y - \sqrt{(2 y + 1) (2 y - 1)}}{2 y}$