Cálculo Exemplos

$6 k^{3} - 5 k^{2} < 4 k$

Etapa 1

Subtraia $4 k$ dos dois lados da desigualdade.

$6 k^{3} - 5 k^{2} - 4 k < 0$

Etapa 2

Converta a desigualdade em uma equação.

$6 k^{3} - 5 k^{2} - 4 k = 0$

Etapa 3

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Fatore $k$ de $6 k^{3} - 5 k^{2} - 4 k$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Fatore $k$ de $6 k^{3}$ .

$k (6 k^{2}) - 5 k^{2} - 4 k = 0$

Etapa 3.1.2

Fatore $k$ de $- 5 k^{2}$ .

$k (6 k^{2}) + k (- 5 k) - 4 k = 0$

Etapa 3.1.3

Fatore $k$ de $- 4 k$ .

$k (6 k^{2}) + k (- 5 k) + k \cdot - 4 = 0$

Etapa 3.1.4

Fatore $k$ de $k (6 k^{2}) + k (- 5 k)$ .

$k (6 k^{2} - 5 k) + k \cdot - 4 = 0$

Etapa 3.1.5

Fatore $k$ de $k (6 k^{2} - 5 k) + k \cdot - 4$ .

$k (6 k^{2} - 5 k - 4) = 0$

Etapa 3.2

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 6 \cdot - 4 = - 24$ e cuja soma é $b = - 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1.1

Fatore $- 5$ de $- 5 k$ .

$k (6 k^{2} - 5 k - 4) = 0$

Etapa 3.2.1.1.2

Reescreva $- 5$ como $3$ mais $- 8$

$k (6 k^{2} + (3 - 8) k - 4) = 0$

Etapa 3.2.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$k (6 k^{2} + 3 k - 8 k - 4) = 0$

Etapa 3.2.1.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$k ((6 k^{2} + 3 k) - 8 k - 4) = 0$

Etapa 3.2.1.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$k (3 k (2 k + 1) - 4 (2 k + 1)) = 0$

Etapa 3.2.1.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $2 k + 1$ .

$k ((2 k + 1) (3 k - 4)) = 0$

Etapa 3.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$k (2 k + 1) (3 k - 4) = 0$

Etapa 4

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$k = 0$

$2 k + 1 = 0$

$3 k - 4 = 0$

Etapa 5

Defina $k$ como igual a $0$ .

$k = 0$

Etapa 6

Defina $2 k + 1$ como igual a $0$ e resolva para $k$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Defina $2 k + 1$ como igual a $0$ .

$2 k + 1 = 0$

Etapa 6.2

Resolva $2 k + 1 = 0$ para $k$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$2 k = - 1$

Etapa 6.2.2

Divida cada termo em $2 k = - 1$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Divida cada termo em $2 k = - 1$ por $2$ .

$\frac{2 k}{2} = \frac{- 1}{2}$

Etapa 6.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 k}{2} = \frac{- 1}{2}$

Etapa 6.2.2.2.1.2

Divida $k$ por $1$ .

$k = \frac{- 1}{2}$

Etapa 6.2.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$k = - \frac{1}{2}$

Etapa 7

Defina $3 k - 4$ como igual a $0$ e resolva para $k$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Defina $3 k - 4$ como igual a $0$ .

$3 k - 4 = 0$

Etapa 7.2

Resolva $3 k - 4 = 0$ para $k$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Some $4$ aos dois lados da equação.

$3 k = 4$

Etapa 7.2.2

Divida cada termo em $3 k = 4$ por $3$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.1

Divida cada termo em $3 k = 4$ por $3$ .

$\frac{3 k}{3} = \frac{4}{3}$

Etapa 7.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 k}{3} = \frac{4}{3}$

Etapa 7.2.2.2.1.2

Divida $k$ por $1$ .

$k = \frac{4}{3}$

Etapa 8

A solução final são todos os valores que tornam $k (2 k + 1) (3 k - 4) = 0$ verdadeiro.

$k = 0, - \frac{1}{2}, \frac{4}{3}$

Etapa 9

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$k < - \frac{1}{2}$

$- \frac{1}{2} < k < 0$

$0 < k < \frac{4}{3}$

$k > \frac{4}{3}$

Etapa 10

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1

Teste um valor no intervalo $k < - \frac{1}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1.1

Escolha um valor no intervalo $k < - \frac{1}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$k = - 3$

Etapa 10.1.2

Substitua $k$ por $- 3$ na desigualdade original.

$6 {(- 3)}^{3} - 5 {(- 3)}^{2} < 4 (- 3)$

Etapa 10.1.3

O lado esquerdo $- 207$ é menor do que o lado direito $- 12$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 10.2

Teste um valor no intervalo $- \frac{1}{2} < k < 0$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.1

Escolha um valor no intervalo $- \frac{1}{2} < k < 0$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$k = - 0.25$

Etapa 10.2.2

Substitua $k$ por $- 0.25$ na desigualdade original.

$6 {(- 0.25)}^{3} - 5 {(- 0.25)}^{2} < 4 (- 0.25)$

Etapa 10.2.3

O lado esquerdo $- 0.40625$ não é menor do que o lado direito $- 1$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 10.3

Teste um valor no intervalo $0 < k < \frac{4}{3}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.3.1

Escolha um valor no intervalo $0 < k < \frac{4}{3}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$k = 1$

Etapa 10.3.2

Substitua $k$ por $1$ na desigualdade original.

$6 {(1)}^{3} - 5 {(1)}^{2} < 4 (1)$

Etapa 10.3.3

O lado esquerdo $1$ é menor do que o lado direito $4$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 10.4

Teste um valor no intervalo $k > \frac{4}{3}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.4.1

Escolha um valor no intervalo $k > \frac{4}{3}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$k = 4$

Etapa 10.4.2

Substitua $k$ por $4$ na desigualdade original.

$6 {(4)}^{3} - 5 {(4)}^{2} < 4 (4)$

Etapa 10.4.3

O lado esquerdo $304$ não é menor do que o lado direito $16$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 10.5

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$k < - \frac{1}{2}$ Verdadeiro

$- \frac{1}{2} < k < 0$ Falso

$0 < k < \frac{4}{3}$ Verdadeiro

$k > \frac{4}{3}$ Falso

$k < - \frac{1}{2}$ Verdadeiro

$- \frac{1}{2} < k < 0$ Falso

$0 < k < \frac{4}{3}$ Verdadeiro

$k > \frac{4}{3}$ Falso

Etapa 11

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$k < - \frac{1}{2}$ ou $0 < k < \frac{4}{3}$

Etapa 12

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Fórmula da desigualdade:

$k < - \frac{1}{2} or 0 < k < \frac{4}{3}$

Notação de intervalo:

$(- \infty, - \frac{1}{2}) \cup (0, \frac{4}{3})$

Etapa 13