Cálculo Exemplos

$\frac{x^{0.5} - 2 x^{2} + 5 x^{1.5}}{2 x^{1.5}}$

Etapa 1

Como $\frac{1}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{x^{0.5} - 2 x^{2} + 5 x^{1.5}}{2 x^{1.5}}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{x^{0.5} - 2 x^{2} + 5 x^{1.5}}{x^{1.5}}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{x^{0.5} - 2 x^{2} + 5 x^{1.5}}{x^{1.5}}]$

Etapa 2

Simplifique com fatoração.

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Etapa 2.1

Fatore $x^{0.5}$ de $x^{0.5} - 2 x^{2} + 5 x^{1.5}$ .

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Etapa 2.1.1

Multiplique por $1$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{x^{0.5} \cdot 1 - 2 x^{2} + 5 x^{1.5}}{x^{1.5}}]$

Etapa 2.1.2

Fatore $x^{0.5}$ de $- 2 x^{2}$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{x^{0.5} \cdot 1 + x^{0.5} (- 2 x^{1.5}) + 5 x^{1.5}}{x^{1.5}}]$

Etapa 2.1.3

Fatore $x^{0.5}$ de $5 x^{1.5}$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{x^{0.5} \cdot 1 + x^{0.5} (- 2 x^{1.5}) + x^{0.5} (5 x)}{x^{1.5}}]$

Etapa 2.1.4

Fatore $x^{0.5}$ de $x^{0.5} \cdot 1 + x^{0.5} (- 2 x^{1.5})$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{x^{0.5} \cdot (1 - 2 x^{1.5}) + x^{0.5} (5 x)}{x^{1.5}}]$

Etapa 2.1.5

Fatore $x^{0.5}$ de $x^{0.5} \cdot (1 - 2 x^{1.5}) + x^{0.5} (5 x)$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{x^{0.5} (1 - 2 x^{1.5} + 5 x)}{x^{1.5}}]$

Etapa 2.2

Mova $x^{0.5}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1 - 2 x^{1.5} + 5 x}{x^{1.5} x^{- 0.5}}]$

Etapa 3

Simplifique o denominador.

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Etapa 3.1

Multiplique $x^{1.5}$ por $x^{- 0.5}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.1.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1 - 2 x^{1.5} + 5 x}{x^{1.5 - 0.5}}]$

Etapa 3.1.2

Subtraia $0.5$ de $1.5$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1 - 2 x^{1.5} + 5 x}{x^{1}}]$

Etapa 3.2

Simplifique $x^{1}$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1 - 2 x^{1.5} + 5 x}{x}]$

Etapa 4

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = 1 - 2 x^{1.5} + 5 x$ e $g (x) = x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x \frac{d}{d x} [1 - 2 x^{1.5} + 5 x] - (1 - 2 x^{1.5} + 5 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 5

Diferencie.

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Etapa 5.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - 2 x^{1.5} + 5 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{1.5}] + \frac{d}{d x} [5 x]$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{1.5}] + \frac{d}{d x} [5 x]) - (1 - 2 x^{1.5} + 5 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 5.2

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x^{1.5}] + \frac{d}{d x} [5 x]) - (1 - 2 x^{1.5} + 5 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 5.3

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- 2 x^{1.5}]$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (\frac{d}{d x} [- 2 x^{1.5}] + \frac{d}{d x} [5 x]) - (1 - 2 x^{1.5} + 5 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 5.4

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x^{1.5}$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x^{1.5}]$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (- 2 \frac{d}{d x} [x^{1.5}] + \frac{d}{d x} [5 x]) - (1 - 2 x^{1.5} + 5 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 5.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1.5$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (- 2 (1.5 x^{0.5}) + \frac{d}{d x} [5 x]) - (1 - 2 x^{1.5} + 5 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 5.6

Multiplique $1.5$ por $- 2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (- 3 x^{0.5} + \frac{d}{d x} [5 x]) - (1 - 2 x^{1.5} + 5 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 5.7

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (- 3 x^{0.5} + 5 \frac{d}{d x} [x]) - (1 - 2 x^{1.5} + 5 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 5.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (- 3 x^{0.5} + 5 \cdot 1) - (1 - 2 x^{1.5} + 5 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 5.9

Multiplique $5$ por $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (- 3 x^{0.5} + 5) - (1 - 2 x^{1.5} + 5 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 5.10

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (- 3 x^{0.5} + 5) - (1 - 2 x^{1.5} + 5 x) \cdot 1}{x^{2}}$

Etapa 5.11

Combine frações.

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Etapa 5.11.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (- 3 x^{0.5} + 5) - (1 - 2 x^{1.5} + 5 x)}{x^{2}}$

Etapa 5.11.2

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{x (- 3 x^{0.5} + 5) - (1 - 2 x^{1.5} + 5 x)}{x^{2}}$ .

$\frac{x (- 3 x^{0.5} + 5) - (1 - 2 x^{1.5} + 5 x)}{2 x^{2}}$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x (- 3 x^{0.5}) + x \cdot 5 - (1 - 2 x^{1.5} + 5 x)}{2 x^{2}}$

Etapa 6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x (- 3 x^{0.5}) + x \cdot 5 - 1 \cdot 1 - (- 2 x^{1.5}) - (5 x)}{2 x^{2}}$

Etapa 6.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.3.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{- 3 x \cdot x^{0.5} + x \cdot 5 - 1 \cdot 1 - (- 2 x^{1.5}) - (5 x)}{2 x^{2}}$

Etapa 6.3.1.2

Multiplique $x$ por $x^{0.5}$ somando os expoentes.

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Etapa 6.3.1.2.1

Mova $x^{0.5}$ .

$\frac{- 3 (x^{0.5} x) + x \cdot 5 - 1 \cdot 1 - (- 2 x^{1.5}) - (5 x)}{2 x^{2}}$

Etapa 6.3.1.2.2

Multiplique $x^{0.5}$ por $x$ .

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Etapa 6.3.1.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{- 3 (x^{0.5} x^{1}) + x \cdot 5 - 1 \cdot 1 - (- 2 x^{1.5}) - (5 x)}{2 x^{2}}$

Etapa 6.3.1.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{- 3 x^{0.5 + 1} + x \cdot 5 - 1 \cdot 1 - (- 2 x^{1.5}) - (5 x)}{2 x^{2}}$

Etapa 6.3.1.2.3

Some $0.5$ e $1$ .

$\frac{- 3 x^{1.5} + x \cdot 5 - 1 \cdot 1 - (- 2 x^{1.5}) - (5 x)}{2 x^{2}}$

Etapa 6.3.1.3

Mova $5$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{- 3 x^{1.5} + 5 \cdot x - 1 \cdot 1 - (- 2 x^{1.5}) - (5 x)}{2 x^{2}}$

Etapa 6.3.1.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{- 3 x^{1.5} + 5 x - 1 - (- 2 x^{1.5}) - (5 x)}{2 x^{2}}$

Etapa 6.3.1.5

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$\frac{- 3 x^{1.5} + 5 x - 1 + 2 x^{1.5} - (5 x)}{2 x^{2}}$

Etapa 6.3.1.6

Multiplique $5$ por $- 1$ .

$\frac{- 3 x^{1.5} + 5 x - 1 + 2 x^{1.5} - 5 x}{2 x^{2}}$

Etapa 6.3.2

Combine os termos opostos em $- 3 x^{1.5} + 5 x - 1 + 2 x^{1.5} - 5 x$ .

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Etapa 6.3.2.1

Subtraia $5 x$ de $5 x$ .

$\frac{- 3 x^{1.5} - 1 + 2 x^{1.5} + 0}{2 x^{2}}$

Etapa 6.3.2.2

Some $- 3 x^{1.5} - 1 + 2 x^{1.5}$ e $0$ .

$\frac{- 3 x^{1.5} - 1 + 2 x^{1.5}}{2 x^{2}}$

Etapa 6.3.3

Some $- 3 x^{1.5}$ e $2 x^{1.5}$ .

$\frac{- 1 x^{1.5} - 1}{2 x^{2}}$

Etapa 6.4

Fatore $- 1$ de $- 1 x^{1.5}$ .

$\frac{- (1 x^{1.5}) - 1}{2 x^{2}}$

Etapa 6.5

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$\frac{- (1 x^{1.5}) - 1 (1)}{2 x^{2}}$

Etapa 6.6

Fatore $- 1$ de $- (1 x^{1.5}) - 1 (1)$ .

$\frac{- (1 x^{1.5} + 1)}{2 x^{2}}$

Etapa 6.7

Reescreva $- (1 x^{1.5} + 1)$ como $- 1 (1 x^{1.5} + 1)$ .

$\frac{- 1 (1 x^{1.5} + 1)}{2 x^{2}}$

Etapa 6.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1 x^{1.5} + 1}{2 x^{2}}$

Etapa 6.9

Multiplique $x^{1.5}$ por $1$ .

$- \frac{x^{1.5} + 1}{2 x^{2}}$