Cálculo Exemplos

${(\frac{x + 6}{x - 6})}^{3}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = \frac{x + 6}{x - 6}$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\frac{x + 6}{x - 6}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [\frac{x + 6}{x - 6}]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [\frac{x + 6}{x - 6}]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{x + 6}{x - 6}$ .

$3 {(\frac{x + 6}{x - 6})}^{2} \frac{d}{d x} [\frac{x + 6}{x - 6}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x + 6$ e $g (x) = x - 6$ .

$3 {(\frac{x + 6}{x - 6})}^{2} \frac{(x - 6) \frac{d}{d x} [x + 6] - (x + 6) \frac{d}{d x} [x - 6]}{{(x - 6)}^{2}}$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 6$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$3 {(\frac{x + 6}{x - 6})}^{2} \frac{(x - 6) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]) - (x + 6) \frac{d}{d x} [x - 6]}{{(x - 6)}^{2}}$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 {(\frac{x + 6}{x - 6})}^{2} \frac{(x - 6) (1 + \frac{d}{d x} [6]) - (x + 6) \frac{d}{d x} [x - 6]}{{(x - 6)}^{2}}$

Etapa 3.3

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6$ em relação a $x$ é $0$ .

$3 {(\frac{x + 6}{x - 6})}^{2} \frac{(x - 6) (1 + 0) - (x + 6) \frac{d}{d x} [x - 6]}{{(x - 6)}^{2}}$

Etapa 3.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.4.1

Some $1$ e $0$ .

$3 {(\frac{x + 6}{x - 6})}^{2} \frac{(x - 6) \cdot 1 - (x + 6) \frac{d}{d x} [x - 6]}{{(x - 6)}^{2}}$

Etapa 3.4.2

Multiplique $x - 6$ por $1$ .

$3 {(\frac{x + 6}{x - 6})}^{2} \frac{x - 6 - (x + 6) \frac{d}{d x} [x - 6]}{{(x - 6)}^{2}}$

Etapa 3.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 6$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$3 {(\frac{x + 6}{x - 6})}^{2} \frac{x - 6 - (x + 6) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6])}{{(x - 6)}^{2}}$

Etapa 3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 {(\frac{x + 6}{x - 6})}^{2} \frac{x - 6 - (x + 6) (1 + \frac{d}{d x} [- 6])}{{(x - 6)}^{2}}$

Etapa 3.7

Como $- 6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 6$ em relação a $x$ é $0$ .

$3 {(\frac{x + 6}{x - 6})}^{2} \frac{x - 6 - (x + 6) (1 + 0)}{{(x - 6)}^{2}}$

Etapa 3.8

Combine frações.

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Etapa 3.8.1

Some $1$ e $0$ .

$3 {(\frac{x + 6}{x - 6})}^{2} \frac{x - 6 - (x + 6) \cdot 1}{{(x - 6)}^{2}}$

Etapa 3.8.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$3 {(\frac{x + 6}{x - 6})}^{2} \frac{x - 6 - (x + 6)}{{(x - 6)}^{2}}$

Etapa 3.8.3

Combine $\frac{x - 6 - (x + 6)}{{(x - 6)}^{2}}$ e $3$ .

$\frac{(x - 6 - (x + 6)) \cdot 3}{{(x - 6)}^{2}} {(\frac{x + 6}{x - 6})}^{2}$

Etapa 3.8.4

Mova $3$ para a esquerda de $x - 6 - (x + 6)$ .

$\frac{3 \cdot (x - 6 - (x + 6))}{{(x - 6)}^{2}} {(\frac{x + 6}{x - 6})}^{2}$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Aplique a regra do produto a $\frac{x + 6}{x - 6}$ .

$\frac{3 (x - 6 - (x + 6))}{{(x - 6)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 6)}^{2}}{{(x - 6)}^{2}}$

Etapa 4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 (x - 6 - x - 1 \cdot 6)}{{(x - 6)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 6)}^{2}}{{(x - 6)}^{2}}$

Etapa 4.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 x + 3 \cdot - 6 + 3 (- x) + 3 (- 1 \cdot 6)}{{(x - 6)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 6)}^{2}}{{(x - 6)}^{2}}$

Etapa 4.4

Combine os termos.

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Etapa 4.4.1

Multiplique $3$ por $- 6$ .

$\frac{3 x - 18 + 3 (- x) + 3 (- 1 \cdot 6)}{{(x - 6)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 6)}^{2}}{{(x - 6)}^{2}}$

Etapa 4.4.2

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{3 x - 18 - 3 x + 3 (- 1 \cdot 6)}{{(x - 6)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 6)}^{2}}{{(x - 6)}^{2}}$

Etapa 4.4.3

Multiplique $- 1$ por $6$ .

$\frac{3 x - 18 - 3 x + 3 \cdot - 6}{{(x - 6)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 6)}^{2}}{{(x - 6)}^{2}}$

Etapa 4.4.4

Multiplique $3$ por $- 6$ .

$\frac{3 x - 18 - 3 x - 18}{{(x - 6)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 6)}^{2}}{{(x - 6)}^{2}}$

Etapa 4.4.5

Subtraia $3 x$ de $3 x$ .

$\frac{0 - 18 - 18}{{(x - 6)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 6)}^{2}}{{(x - 6)}^{2}}$

Etapa 4.4.6

Subtraia $18$ de $0$ .

$\frac{- 18 - 18}{{(x - 6)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 6)}^{2}}{{(x - 6)}^{2}}$

Etapa 4.4.7

Subtraia $18$ de $- 18$ .

$\frac{- 36}{{(x - 6)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 6)}^{2}}{{(x - 6)}^{2}}$

Etapa 4.4.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{36}{{(x - 6)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 6)}^{2}}{{(x - 6)}^{2}}$

Etapa 4.4.9

Multiplique $\frac{{(x + 6)}^{2}}{{(x - 6)}^{2}}$ por $\frac{36}{{(x - 6)}^{2}}$ .

$- \frac{{(x + 6)}^{2} \cdot 36}{{(x - 6)}^{2} {(x - 6)}^{2}}$

Etapa 4.4.10

Multiplique ${(x - 6)}^{2}$ por ${(x - 6)}^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 4.4.10.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \frac{{(x + 6)}^{2} \cdot 36}{{(x - 6)}^{2 + 2}}$

Etapa 4.4.10.2

Some $2$ e $2$ .

$- \frac{{(x + 6)}^{2} \cdot 36}{{(x - 6)}^{4}}$

Etapa 4.4.11

Mova $36$ para a esquerda de ${(x + 6)}^{2}$ .

$- \frac{36 {(x + 6)}^{2}}{{(x - 6)}^{4}}$