Cálculo Exemplos

${(\frac{1}{81})}^{2 x}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = {(\frac{1}{81})}^{x}$ e $g (x) = 2 x$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x$ .

$\frac{d}{d u} [{(\frac{1}{81})}^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $\frac{1}{81}$ .

${(\frac{1}{81})}^{u} \ln (\frac{1}{81}) \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x$ .

${(\frac{1}{81})}^{2 x} \ln (\frac{1}{81}) \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

${(\frac{1}{81})}^{2 x} \ln (\frac{1}{81}) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

${(\frac{1}{81})}^{2 x} \ln (\frac{1}{81}) (2 \cdot 1)$

Etapa 2.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.3.1

Multiplique $2$ por $1$ .

${(\frac{1}{81})}^{2 x} \ln (\frac{1}{81}) \cdot 2$

Etapa 2.3.2

Mova $2$ para a esquerda de ${(\frac{1}{81})}^{2 x} \ln (\frac{1}{81})$ .

$2 \cdot ({(\frac{1}{81})}^{2 x} \ln (\frac{1}{81}))$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{81}$ .

$2 \frac{1^{2 x}}{81^{2 x}} \ln (\frac{1}{81})$

Etapa 3.2

Combine os termos.

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Etapa 3.2.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$2 \frac{1}{81^{2 x}} \ln (\frac{1}{81})$

Etapa 3.2.2

Combine $2$ e $\frac{1}{81^{2 x}}$ .

$\frac{2}{81^{2 x}} \ln (\frac{1}{81})$

Etapa 3.2.3

Combine $\frac{2}{81^{2 x}}$ e $\ln (\frac{1}{81})$ .

$\frac{2 \ln (\frac{1}{81})}{81^{2 x}}$