Cálculo Exemplos

$(x - 6) {(x + 2)}^{3}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x - 6$ e $g (x) = {(x + 2)}^{3}$ .

$(x - 6) \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{3}] + {(x + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x - 6]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = x + 2$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x + 2$ .

$(x - 6) (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x + 2]) + {(x + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x - 6]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$(x - 6) (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x + 2]) + {(x + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x - 6]$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + 2$ .

$(x - 6) (3 {(x + 2)}^{2} \frac{d}{d x} [x + 2]) + {(x + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x - 6]$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

Mova $3$ para a esquerda de $x - 6$ .

$3 \cdot (x - 6) {(x + 2)}^{2} \frac{d}{d x} [x + 2] + {(x + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x - 6]$

Etapa 3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$3 (x - 6) {(x + 2)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]) + {(x + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x - 6]$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 (x - 6) {(x + 2)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [2]) + {(x + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x - 6]$

Etapa 3.4

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$3 (x - 6) {(x + 2)}^{2} (1 + 0) + {(x + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x - 6]$

Etapa 3.5

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.5.1

Some $1$ e $0$ .

$3 (x - 6) {(x + 2)}^{2} \cdot 1 + {(x + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x - 6]$

Etapa 3.5.2

Multiplique $3$ por $1$ .

$3 (x - 6) {(x + 2)}^{2} + {(x + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x - 6]$

Etapa 3.6

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 6$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$3 (x - 6) {(x + 2)}^{2} + {(x + 2)}^{3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6])$

Etapa 3.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 (x - 6) {(x + 2)}^{2} + {(x + 2)}^{3} (1 + \frac{d}{d x} [- 6])$

Etapa 3.8

Como $- 6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 6$ em relação a $x$ é $0$ .

$3 (x - 6) {(x + 2)}^{2} + {(x + 2)}^{3} (1 + 0)$

Etapa 3.9

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.9.1

Some $1$ e $0$ .

$3 (x - 6) {(x + 2)}^{2} + {(x + 2)}^{3} \cdot 1$

Etapa 3.9.2

Multiplique ${(x + 2)}^{3}$ por $1$ .

$3 (x - 6) {(x + 2)}^{2} + {(x + 2)}^{3}$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$(3 x + 3 \cdot - 6) {(x + 2)}^{2} + {(x + 2)}^{3}$

Etapa 4.2

Multiplique $3$ por $- 6$ .

$(3 x - 18) {(x + 2)}^{2} + {(x + 2)}^{3}$

Etapa 4.3

Fatore ${(x + 2)}^{2}$ de $(3 x - 18) {(x + 2)}^{2} + {(x + 2)}^{3}$ .

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Etapa 4.3.1

Fatore ${(x + 2)}^{2}$ de $(3 x - 18) {(x + 2)}^{2}$ .

${(x + 2)}^{2} (3 x - 18) + {(x + 2)}^{3}$

Etapa 4.3.2

Fatore ${(x + 2)}^{2}$ de ${(x + 2)}^{3}$ .

${(x + 2)}^{2} (3 x - 18) + {(x + 2)}^{2} (x + 2)$

Etapa 4.3.3

Fatore ${(x + 2)}^{2}$ de ${(x + 2)}^{2} (3 x - 18) + {(x + 2)}^{2} (x + 2)$ .

${(x + 2)}^{2} (3 x - 18 + x + 2)$

Etapa 4.4

Combine os termos.

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Etapa 4.4.1

Some $3 x$ e $x$ .

${(x + 2)}^{2} (4 x - 18 + 2)$

Etapa 4.4.2

Some $- 18$ e $2$ .

${(x + 2)}^{2} (4 x - 16)$

Etapa 4.5

Reescreva ${(x + 2)}^{2}$ como $(x + 2) (x + 2)$ .

$(x + 2) (x + 2) (4 x - 16)$

Etapa 4.6

Expanda $(x + 2) (x + 2)$ usando o método FOIL.

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Etapa 4.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$(x (x + 2) + 2 (x + 2)) (4 x - 16)$

Etapa 4.6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$(x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2)) (4 x - 16)$

Etapa 4.6.3

Aplique a propriedade distributiva.

$(x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2) (4 x - 16)$

Etapa 4.7

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 4.7.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.7.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$(x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2) (4 x - 16)$

Etapa 4.7.1.2

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$(x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2) (4 x - 16)$

Etapa 4.7.1.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$(x^{2} + 2 x + 2 x + 4) (4 x - 16)$

Etapa 4.7.2

Some $2 x$ e $2 x$ .

$(x^{2} + 4 x + 4) (4 x - 16)$

Etapa 4.8

Expanda $(x^{2} + 4 x + 4) (4 x - 16)$ multiplicando cada termo na primeira expressão por cada um dos termos na segunda expressão.

$x^{2} (4 x) + x^{2} \cdot - 16 + 4 x (4 x) + 4 x \cdot - 16 + 4 (4 x) + 4 \cdot - 16$

Etapa 4.9

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.9.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$4 x^{2} x + x^{2} \cdot - 16 + 4 x (4 x) + 4 x \cdot - 16 + 4 (4 x) + 4 \cdot - 16$

Etapa 4.9.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 4.9.2.1

Mova $x$ .

$4 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot - 16 + 4 x (4 x) + 4 x \cdot - 16 + 4 (4 x) + 4 \cdot - 16$

Etapa 4.9.2.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

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Etapa 4.9.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$4 (x^{1} x^{2}) + x^{2} \cdot - 16 + 4 x (4 x) + 4 x \cdot - 16 + 4 (4 x) + 4 \cdot - 16$

Etapa 4.9.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$4 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot - 16 + 4 x (4 x) + 4 x \cdot - 16 + 4 (4 x) + 4 \cdot - 16$

Etapa 4.9.2.3

Some $1$ e $2$ .

$4 x^{3} + x^{2} \cdot - 16 + 4 x (4 x) + 4 x \cdot - 16 + 4 (4 x) + 4 \cdot - 16$

Etapa 4.9.3

Mova $- 16$ para a esquerda de $x^{2}$ .

$4 x^{3} - 16 \cdot x^{2} + 4 x (4 x) + 4 x \cdot - 16 + 4 (4 x) + 4 \cdot - 16$

Etapa 4.9.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$4 x^{3} - 16 x^{2} + 4 \cdot 4 x \cdot x + 4 x \cdot - 16 + 4 (4 x) + 4 \cdot - 16$

Etapa 4.9.5

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 4.9.5.1

Mova $x$ .

$4 x^{3} - 16 x^{2} + 4 \cdot 4 (x \cdot x) + 4 x \cdot - 16 + 4 (4 x) + 4 \cdot - 16$

Etapa 4.9.5.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$4 x^{3} - 16 x^{2} + 4 \cdot 4 x^{2} + 4 x \cdot - 16 + 4 (4 x) + 4 \cdot - 16$

Etapa 4.9.6

Multiplique $4$ por $4$ .

$4 x^{3} - 16 x^{2} + 16 x^{2} + 4 x \cdot - 16 + 4 (4 x) + 4 \cdot - 16$

Etapa 4.9.7

Multiplique $- 16$ por $4$ .

$4 x^{3} - 16 x^{2} + 16 x^{2} - 64 x + 4 (4 x) + 4 \cdot - 16$

Etapa 4.9.8

Multiplique $4$ por $4$ .

$4 x^{3} - 16 x^{2} + 16 x^{2} - 64 x + 16 x + 4 \cdot - 16$

Etapa 4.9.9

Multiplique $4$ por $- 16$ .

$4 x^{3} - 16 x^{2} + 16 x^{2} - 64 x + 16 x - 64$

Etapa 4.10

Combine os termos opostos em $4 x^{3} - 16 x^{2} + 16 x^{2} - 64 x + 16 x - 64$ .

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Etapa 4.10.1

Some $- 16 x^{2}$ e $16 x^{2}$ .

$4 x^{3} + 0 - 64 x + 16 x - 64$

Etapa 4.10.2

Some $4 x^{3}$ e $0$ .

$4 x^{3} - 64 x + 16 x - 64$

Etapa 4.11

Some $- 64 x$ e $16 x$ .

$4 x^{3} - 48 x - 64$