Cálculo Exemplos

${(x^{4} + 3 x)}^{- 1}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{4} + 3 x$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{4} + 3 x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{4} + 3 x]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4} + 3 x]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{4} + 3 x$ .

$- {(x^{4} + 3 x)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4} + 3 x]$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{4} + 3 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x]$ .

$- {(x^{4} + 3 x)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x])$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$- {(x^{4} + 3 x)}^{- 2} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [3 x])$

Etapa 2.3

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- {(x^{4} + 3 x)}^{- 2} (4 x^{3} + 3 \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- {(x^{4} + 3 x)}^{- 2} (4 x^{3} + 3 \cdot 1)$

Etapa 2.5

Multiplique $3$ por $1$ .

$- {(x^{4} + 3 x)}^{- 2} (4 x^{3} + 3)$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{{(x^{4} + 3 x)}^{2}} (4 x^{3} + 3)$

Etapa 3.2

Reordene os fatores de $- \frac{1}{{(x^{4} + 3 x)}^{2}} (4 x^{3} + 3)$ .

$- (4 x^{3} + 3) \frac{1}{{(x^{4} + 3 x)}^{2}}$

Etapa 3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$(- (4 x^{3}) - 1 \cdot 3) \frac{1}{{(x^{4} + 3 x)}^{2}}$

Etapa 3.4

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$(- 4 x^{3} - 1 \cdot 3) \frac{1}{{(x^{4} + 3 x)}^{2}}$

Etapa 3.5

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$(- 4 x^{3} - 3) \frac{1}{{(x^{4} + 3 x)}^{2}}$

Etapa 3.6

Simplifique o denominador.

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Etapa 3.6.1

Fatore $x$ de $x^{4} + 3 x$ .

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Etapa 3.6.1.1

Fatore $x$ de $x^{4}$ .

$(- 4 x^{3} - 3) \frac{1}{{(x \cdot x^{3} + 3 x)}^{2}}$

Etapa 3.6.1.2

Fatore $x$ de $3 x$ .

$(- 4 x^{3} - 3) \frac{1}{{(x \cdot x^{3} + x \cdot 3)}^{2}}$

Etapa 3.6.1.3

Fatore $x$ de $x \cdot x^{3} + x \cdot 3$ .

$(- 4 x^{3} - 3) \frac{1}{{(x (x^{3} + 3))}^{2}}$

Etapa 3.6.2

Aplique a regra do produto a $x (x^{3} + 3)$ .

$(- 4 x^{3} - 3) \frac{1}{x^{2} {(x^{3} + 3)}^{2}}$

Etapa 3.7

Multiplique $- 4 x^{3} - 3$ por $\frac{1}{x^{2} {(x^{3} + 3)}^{2}}$ .

$\frac{- 4 x^{3} - 3}{x^{2} {(x^{3} + 3)}^{2}}$

Etapa 3.8

Fatore $- 1$ de $- 4 x^{3}$ .

$\frac{- (4 x^{3}) - 3}{x^{2} {(x^{3} + 3)}^{2}}$

Etapa 3.9

Reescreva $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$\frac{- (4 x^{3}) - 1 (3)}{x^{2} {(x^{3} + 3)}^{2}}$

Etapa 3.10

Fatore $- 1$ de $- (4 x^{3}) - 1 (3)$ .

$\frac{- (4 x^{3} + 3)}{x^{2} {(x^{3} + 3)}^{2}}$

Etapa 3.11

Reescreva $- (4 x^{3} + 3)$ como $- 1 (4 x^{3} + 3)$ .

$\frac{- 1 (4 x^{3} + 3)}{x^{2} {(x^{3} + 3)}^{2}}$

Etapa 3.12

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{4 x^{3} + 3}{x^{2} {(x^{3} + 3)}^{2}}$