Cálculo Exemplos

${(x^{4} - \frac{7}{x})}^{- 4}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 4}$ e $g (x) = x^{4} - \frac{7}{x}$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{4} - \frac{7}{x}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 4}] \frac{d}{d x} [x^{4} - \frac{7}{x}]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 4$ .

$- 4 u^{- 5} \frac{d}{d x} [x^{4} - \frac{7}{x}]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{4} - \frac{7}{x}$ .

$- 4 {(x^{4} - \frac{7}{x})}^{- 5} \frac{d}{d x} [x^{4} - \frac{7}{x}]$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{4} - \frac{7}{x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{7}{x}]$ .

$- 4 {(x^{4} - \frac{7}{x})}^{- 5} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{7}{x}])$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$- 4 {(x^{4} - \frac{7}{x})}^{- 5} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{7}{x}])$

Etapa 2.3

Como $- 7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{7}{x}$ em relação a $x$ é $- 7 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$- 4 {(x^{4} - \frac{7}{x})}^{- 5} (4 x^{3} - 7 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

Etapa 2.4

Reescreva $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$- 4 {(x^{4} - \frac{7}{x})}^{- 5} (4 x^{3} - 7 \frac{d}{d x} [x^{- 1}])$

Etapa 2.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$- 4 {(x^{4} - \frac{7}{x})}^{- 5} (4 x^{3} - 7 (- x^{- 2}))$

Etapa 2.6

Multiplique $- 1$ por $- 7$ .

$- 4 {(x^{4} - \frac{7}{x})}^{- 5} (4 x^{3} + 7 x^{- 2})$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 4 \frac{1}{{(x^{4} - \frac{7}{x})}^{5}} (4 x^{3} + 7 x^{- 2})$

Etapa 3.2

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 4 \frac{1}{{(x^{4} - \frac{7}{x})}^{5}} (4 x^{3} + 7 \frac{1}{x^{2}})$

Etapa 3.3

Combine os termos.

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Etapa 3.3.1

Combine $- 4$ e $\frac{1}{{(x^{4} - \frac{7}{x})}^{5}}$ .

$\frac{- 4}{{(x^{4} - \frac{7}{x})}^{5}} (4 x^{3} + 7 \frac{1}{x^{2}})$

Etapa 3.3.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{4}{{(x^{4} - \frac{7}{x})}^{5}} (4 x^{3} + 7 \frac{1}{x^{2}})$

Etapa 3.3.3

Combine $7$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$- \frac{4}{{(x^{4} - \frac{7}{x})}^{5}} (4 x^{3} + \frac{7}{x^{2}})$

Etapa 3.4

Reordene os fatores de $- \frac{4}{{(x^{4} - \frac{7}{x})}^{5}} (4 x^{3} + \frac{7}{x^{2}})$ .

$- (4 x^{3} + \frac{7}{x^{2}}) \frac{4}{{(x^{4} - \frac{7}{x})}^{5}}$

Etapa 3.5

Aplique a propriedade distributiva.

$(- (4 x^{3}) - \frac{7}{x^{2}}) \frac{4}{{(x^{4} - \frac{7}{x})}^{5}}$

Etapa 3.6

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$(- 4 x^{3} - \frac{7}{x^{2}}) \frac{4}{{(x^{4} - \frac{7}{x})}^{5}}$

Etapa 3.7

Simplifique o denominador.

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Etapa 3.7.1

Para escrever $x^{4}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x}{x}$ .

$(- 4 x^{3} - \frac{7}{x^{2}}) \frac{4}{{(\frac{x^{4} x}{x} - \frac{7}{x})}^{5}}$

Etapa 3.7.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$(- 4 x^{3} - \frac{7}{x^{2}}) \frac{4}{{(\frac{x^{4} x - 7}{x})}^{5}}$

Etapa 3.7.3

Multiplique $x^{4}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 3.7.3.1

Multiplique $x^{4}$ por $x$ .

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Etapa 3.7.3.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$(- 4 x^{3} - \frac{7}{x^{2}}) \frac{4}{{(\frac{x^{4} x^{1} - 7}{x})}^{5}}$

Etapa 3.7.3.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$(- 4 x^{3} - \frac{7}{x^{2}}) \frac{4}{{(\frac{x^{4 + 1} - 7}{x})}^{5}}$

Etapa 3.7.3.2

Some $4$ e $1$ .

$(- 4 x^{3} - \frac{7}{x^{2}}) \frac{4}{{(\frac{x^{5} - 7}{x})}^{5}}$

Etapa 3.7.4

Aplique a regra do produto a $\frac{x^{5} - 7}{x}$ .

$(- 4 x^{3} - \frac{7}{x^{2}}) \frac{4}{\frac{{(x^{5} - 7)}^{5}}{x^{5}}}$

Etapa 3.8

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$(- 4 x^{3} - \frac{7}{x^{2}}) (4 \frac{x^{5}}{{(x^{5} - 7)}^{5}})$

Etapa 3.9

Combine $4$ e $\frac{x^{5}}{{(x^{5} - 7)}^{5}}$ .

$(- 4 x^{3} - \frac{7}{x^{2}}) \frac{4 x^{5}}{{(x^{5} - 7)}^{5}}$

Etapa 3.10

Multiplique $- 4 x^{3} - \frac{7}{x^{2}}$ por $\frac{4 x^{5}}{{(x^{5} - 7)}^{5}}$ .

$\frac{(- 4 x^{3} - \frac{7}{x^{2}}) (4 x^{5})}{{(x^{5} - 7)}^{5}}$

Etapa 3.11

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.11.1

Para escrever $- 4 x^{3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{(- 4 x^{3} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}} - \frac{7}{x^{2}}) \cdot 4 x^{5}}{{(x^{5} - 7)}^{5}}$

Etapa 3.11.2

Combine $- 4 x^{3}$ e $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{(\frac{- 4 x^{3} x^{2}}{x^{2}} - \frac{7}{x^{2}}) \cdot 4 x^{5}}{{(x^{5} - 7)}^{5}}$

Etapa 3.11.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\frac{- 4 x^{3} x^{2} - 7}{x^{2}} \cdot 4 x^{5}}{{(x^{5} - 7)}^{5}}$

Etapa 3.11.4

Multiplique $x^{3}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.11.4.1

Mova $x^{2}$ .

$\frac{\frac{- 4 (x^{2} x^{3}) - 7}{x^{2}} \cdot 4 x^{5}}{{(x^{5} - 7)}^{5}}$

Etapa 3.11.4.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\frac{- 4 x^{2 + 3} - 7}{x^{2}} \cdot 4 x^{5}}{{(x^{5} - 7)}^{5}}$

Etapa 3.11.4.3

Some $2$ e $3$ .

$\frac{\frac{- 4 x^{5} - 7}{x^{2}} \cdot 4 x^{5}}{{(x^{5} - 7)}^{5}}$

Etapa 3.11.5

Combine expoentes.

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Etapa 3.11.5.1

Combine $\frac{- 4 x^{5} - 7}{x^{2}}$ e $4$ .

$\frac{\frac{(- 4 x^{5} - 7) \cdot 4}{x^{2}} x^{5}}{{(x^{5} - 7)}^{5}}$

Etapa 3.11.5.2

Combine $\frac{(- 4 x^{5} - 7) \cdot 4}{x^{2}}$ e $x^{5}$ .

$\frac{\frac{(- 4 x^{5} - 7) \cdot 4 x^{5}}{x^{2}}}{{(x^{5} - 7)}^{5}}$

Etapa 3.11.6

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

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Etapa 3.11.6.1

Reduza a expressão $\frac{(- 4 x^{5} - 7) \cdot 4 x^{5}}{x^{2}}$ cancelando os fatores comuns.

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Etapa 3.11.6.1.1

Fatore $x^{2}$ de $(- 4 x^{5} - 7) \cdot 4 x^{5}$ .

$\frac{\frac{x^{2} ((- 4 x^{5} - 7) \cdot 4 x^{3})}{x^{2}}}{{(x^{5} - 7)}^{5}}$

Etapa 3.11.6.1.2

Multiplique por $1$ .

$\frac{\frac{x^{2} ((- 4 x^{5} - 7) \cdot 4 x^{3})}{x^{2} \cdot 1}}{{(x^{5} - 7)}^{5}}$

Etapa 3.11.6.1.3

Cancele o fator comum.

$\frac{\frac{x^{2} ((- 4 x^{5} - 7) \cdot 4 x^{3})}{x^{2} \cdot 1}}{{(x^{5} - 7)}^{5}}$

Etapa 3.11.6.1.4

Reescreva a expressão.

$\frac{\frac{(- 4 x^{5} - 7) \cdot 4 x^{3}}{1}}{{(x^{5} - 7)}^{5}}$

Etapa 3.11.6.2

Divida $(- 4 x^{5} - 7) \cdot 4 x^{3}$ por $1$ .

$\frac{(- 4 x^{5} - 7) \cdot 4 x^{3}}{{(x^{5} - 7)}^{5}}$

Etapa 3.12

Mova $4$ para a esquerda de $- 4 x^{5} - 7$ .

$\frac{4 \cdot (- 4 x^{5} - 7) x^{3}}{{(x^{5} - 7)}^{5}}$

Etapa 3.13

Fatore $- 1$ de $- 4 x^{5}$ .

$\frac{4 (- (4 x^{5}) - 7) x^{3}}{{(x^{5} - 7)}^{5}}$

Etapa 3.14

Reescreva $- 7$ como $- 1 (7)$ .

$\frac{4 (- (4 x^{5}) - 1 (7)) x^{3}}{{(x^{5} - 7)}^{5}}$

Etapa 3.15

Fatore $- 1$ de $- (4 x^{5}) - 1 (7)$ .

$\frac{4 (- (4 x^{5} + 7)) x^{3}}{{(x^{5} - 7)}^{5}}$

Etapa 3.16

Reescreva $- (4 x^{5} + 7)$ como $- 1 (4 x^{5} + 7)$ .

$\frac{4 (- 1 (4 x^{5} + 7)) x^{3}}{{(x^{5} - 7)}^{5}}$

Etapa 3.17

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{(4 (4 x^{5} + 7)) x^{3}}{{(x^{5} - 7)}^{5}}$

Etapa 3.18

Reordene os fatores em $- \frac{(4 (4 x^{5} + 7)) x^{3}}{{(x^{5} - 7)}^{5}}$ .

$- \frac{(4) x^{3} (4 x^{5} + 7)}{{(x^{5} - 7)}^{5}}$