Cálculo Exemplos

$\frac{x^{4} - 4}{x^{2} - 5}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x^{4} - 4$ e $g (x) = x^{2} - 5$ .

$\frac{(x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x^{4} - 4] - (x^{4} - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 5]}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{4} - 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{(x^{2} - 5) (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4]) - (x^{4} - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 5]}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$\frac{(x^{2} - 5) (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 4]) - (x^{4} - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 5]}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Etapa 2.3

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(x^{2} - 5) (4 x^{3} + 0) - (x^{4} - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 5]}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Etapa 2.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.4.1

Some $4 x^{3}$ e $0$ .

$\frac{(x^{2} - 5) (4 x^{3}) - (x^{4} - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 5]}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Etapa 2.4.2

Mova $4$ para a esquerda de $x^{2} - 5$ .

$\frac{4 \cdot (x^{2} - 5) x^{3} - (x^{4} - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 5]}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Etapa 2.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{4 (x^{2} - 5) x^{3} - (x^{4} - 4) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Etapa 2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{4 (x^{2} - 5) x^{3} - (x^{4} - 4) (2 x + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Etapa 2.7

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{4 (x^{2} - 5) x^{3} - (x^{4} - 4) (2 x + 0)}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Etapa 2.8

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.8.1

Some $2 x$ e $0$ .

$\frac{4 (x^{2} - 5) x^{3} - (x^{4} - 4) (2 x)}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Etapa 2.8.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{4 (x^{2} - 5) x^{3} - 2 (x^{4} - 4) x}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(4 x^{2} + 4 \cdot - 5) x^{3} - 2 (x^{4} - 4) x}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Etapa 3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{4 x^{2} x^{3} + 4 \cdot - 5 x^{3} - 2 (x^{4} - 4) x}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Etapa 3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{4 x^{2} x^{3} + 4 \cdot - 5 x^{3} + (- 2 x^{4} - 2 \cdot - 4) x}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Etapa 3.4

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{4 x^{2} x^{3} + 4 \cdot - 5 x^{3} - 2 x^{4} x - 2 \cdot - 4 x}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Etapa 3.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.5.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.5.1.1

Multiplique $x^{2}$ por $x^{3}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.5.1.1.1

Mova $x^{3}$ .

$\frac{4 (x^{3} x^{2}) + 4 \cdot - 5 x^{3} - 2 x^{4} x - 2 \cdot - 4 x}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Etapa 3.5.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{4 x^{3 + 2} + 4 \cdot - 5 x^{3} - 2 x^{4} x - 2 \cdot - 4 x}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Etapa 3.5.1.1.3

Some $3$ e $2$ .

$\frac{4 x^{5} + 4 \cdot - 5 x^{3} - 2 x^{4} x - 2 \cdot - 4 x}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Etapa 3.5.1.2

Multiplique $4$ por $- 5$ .

$\frac{4 x^{5} - 20 x^{3} - 2 x^{4} x - 2 \cdot - 4 x}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Etapa 3.5.1.3

Multiplique $x^{4}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 3.5.1.3.1

Mova $x$ .

$\frac{4 x^{5} - 20 x^{3} - 2 (x \cdot x^{4}) - 2 \cdot - 4 x}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Etapa 3.5.1.3.2

Multiplique $x$ por $x^{4}$ .

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Etapa 3.5.1.3.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{4 x^{5} - 20 x^{3} - 2 (x^{1} x^{4}) - 2 \cdot - 4 x}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Etapa 3.5.1.3.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{4 x^{5} - 20 x^{3} - 2 x^{1 + 4} - 2 \cdot - 4 x}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Etapa 3.5.1.3.3

Some $1$ e $4$ .

$\frac{4 x^{5} - 20 x^{3} - 2 x^{5} - 2 \cdot - 4 x}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Etapa 3.5.1.4

Multiplique $- 2$ por $- 4$ .

$\frac{4 x^{5} - 20 x^{3} - 2 x^{5} + 8 x}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Etapa 3.5.2

Subtraia $2 x^{5}$ de $4 x^{5}$ .

$\frac{2 x^{5} - 20 x^{3} + 8 x}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Etapa 3.6

Fatore $2 x$ de $2 x^{5} - 20 x^{3} + 8 x$ .

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Etapa 3.6.1

Fatore $2 x$ de $2 x^{5}$ .

$\frac{2 x (x^{4}) - 20 x^{3} + 8 x}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Etapa 3.6.2

Fatore $2 x$ de $- 20 x^{3}$ .

$\frac{2 x (x^{4}) + 2 x (- 10 x^{2}) + 8 x}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Etapa 3.6.3

Fatore $2 x$ de $8 x$ .

$\frac{2 x (x^{4}) + 2 x (- 10 x^{2}) + 2 x (4)}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Etapa 3.6.4

Fatore $2 x$ de $2 x (x^{4}) + 2 x (- 10 x^{2})$ .

$\frac{2 x (x^{4} - 10 x^{2}) + 2 x (4)}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Etapa 3.6.5

Fatore $2 x$ de $2 x (x^{4} - 10 x^{2}) + 2 x (4)$ .

$\frac{2 x (x^{4} - 10 x^{2} + 4)}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$