Cálculo Exemplos

$\frac{x^{2} - x - 6}{x - 3}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x^{2} - x - 6$ e $g (x) = x - 3$ .

$\frac{(x - 3) \frac{d}{d x} [x^{2} - x - 6] - (x^{2} - x - 6) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - x - 6$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{(x - 3) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 6]) - (x^{2} - x - 6) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{(x - 3) (2 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 6]) - (x^{2} - x - 6) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 2.3

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x - 3) (2 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]) - (x^{2} - x - 6) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(x - 3) (2 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6]) - (x^{2} - x - 6) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 2.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{(x - 3) (2 x - 1 + \frac{d}{d x} [- 6]) - (x^{2} - x - 6) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 2.6

Como $- 6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 6$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(x - 3) (2 x - 1 + 0) - (x^{2} - x - 6) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 2.7

Some $2 x - 1$ e $0$ .

$\frac{(x - 3) (2 x - 1) - (x^{2} - x - 6) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 2.8

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{(x - 3) (2 x - 1) - (x^{2} - x - 6) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 2.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(x - 3) (2 x - 1) - (x^{2} - x - 6) (1 + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 2.10

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(x - 3) (2 x - 1) - (x^{2} - x - 6) (1 + 0)}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 2.11

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.11.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{(x - 3) (2 x - 1) - (x^{2} - x - 6) \cdot 1}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 2.11.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{(x - 3) (2 x - 1) - (x^{2} - x - 6)}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(x - 3) (2 x - 1) - x^{2} - - x - - 6}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 3.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.1.1

Expanda $(x - 3) (2 x - 1)$ usando o método FOIL.

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Etapa 3.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x (2 x - 1) - 3 (2 x - 1) - x^{2} - - x - - 6}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x (2 x) + x \cdot - 1 - 3 (2 x - 1) - x^{2} - - x - - 6}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x (2 x) + x \cdot - 1 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 1 - x^{2} - - x - - 6}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 3.2.1.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.1.2.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{2 x \cdot x + x \cdot - 1 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 1 - x^{2} - - x - - 6}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.2.1.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 3.2.1.2.1.2.1

Mova $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + x \cdot - 1 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 1 - x^{2} - - x - - 6}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.2.1.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{2 x^{2} + x \cdot - 1 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 1 - x^{2} - - x - - 6}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.2.1.3

Mova $- 1$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{2 x^{2} - 1 \cdot x - 3 (2 x) - 3 \cdot - 1 - x^{2} - - x - - 6}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.2.1.4

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$\frac{2 x^{2} - x - 3 (2 x) - 3 \cdot - 1 - x^{2} - - x - - 6}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.2.1.5

Multiplique $2$ por $- 3$ .

$\frac{2 x^{2} - x - 6 x - 3 \cdot - 1 - x^{2} - - x - - 6}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.2.1.6

Multiplique $- 3$ por $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} - x - 6 x + 3 - x^{2} - - x - - 6}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.2.2

Subtraia $6 x$ de $- x$ .

$\frac{2 x^{2} - 7 x + 3 - x^{2} - - x - - 6}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.3

Multiplique $- - x$ .

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Etapa 3.2.1.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} - 7 x + 3 - x^{2} + 1 x - - 6}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.3.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$\frac{2 x^{2} - 7 x + 3 - x^{2} + x - - 6}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $- 6$ .

$\frac{2 x^{2} - 7 x + 3 - x^{2} + x + 6}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 3.2.2

Subtraia $x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 7 x + 3 + x + 6}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 3.2.3

Some $- 7 x$ e $x$ .

$\frac{x^{2} - 6 x + 3 + 6}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 3.2.4

Some $3$ e $6$ .

$\frac{x^{2} - 6 x + 9}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 3.3

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

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Etapa 3.3.1

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 6 x + 3^{2}}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 3.3.2

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$6 x = 2 \cdot x \cdot 3$

Etapa 3.3.3

Reescreva o polinômio.

$\frac{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2}}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 3.3.4

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , em que $a = x$ e $b = 3$ .

$\frac{{(x - 3)}^{2}}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 3.4

Cancele o fator comum de ${(x - 3)}^{2}$ .

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Etapa 3.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{{(x - 3)}^{2}}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 3.4.2

Reescreva a expressão.

$1$