Cálculo Exemplos

$\frac{1 - 6 x}{e^{3 x}}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = 1 - 6 x$ e $g (x) = e^{3 x}$ .

$\frac{e^{3 x} \frac{d}{d x} [1 - 6 x] - (1 - 6 x) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{{(e^{3 x})}^{2}}$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

Multiplique os expoentes em ${(e^{3 x})}^{2}$ .

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Etapa 2.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{e^{3 x} \frac{d}{d x} [1 - 6 x] - (1 - 6 x) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{e^{3 x \cdot 2}}$

Etapa 2.1.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{e^{3 x} \frac{d}{d x} [1 - 6 x] - (1 - 6 x) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{e^{6 x}}$

Etapa 2.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - 6 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

$\frac{e^{3 x} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 6 x]) - (1 - 6 x) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{e^{6 x}}$

Etapa 2.3

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{e^{3 x} (0 + \frac{d}{d x} [- 6 x]) - (1 - 6 x) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{e^{6 x}}$

Etapa 2.4

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

$\frac{e^{3 x} \frac{d}{d x} [- 6 x] - (1 - 6 x) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{e^{6 x}}$

Etapa 2.5

Como $- 6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 6 x$ em relação a $x$ é $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{e^{3 x} (- 6 \frac{d}{d x} [x]) - (1 - 6 x) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{e^{6 x}}$

Etapa 2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{e^{3 x} (- 6 \cdot 1) - (1 - 6 x) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{e^{6 x}}$

Etapa 2.7

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.7.1

Multiplique $- 6$ por $1$ .

$\frac{e^{3 x} \cdot - 6 - (1 - 6 x) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{e^{6 x}}$

Etapa 2.7.2

Mova $- 6$ para a esquerda de $e^{3 x}$ .

$\frac{- 6 \cdot e^{3 x} - (1 - 6 x) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{e^{6 x}}$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 3 x$ .

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Etapa 3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $3 x$ .

$\frac{- 6 e^{3 x} - (1 - 6 x) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 x])}{e^{6 x}}$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{- 6 e^{3 x} - (1 - 6 x) (e^{u} \frac{d}{d x} [3 x])}{e^{6 x}}$

Etapa 3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $3 x$ .

$\frac{- 6 e^{3 x} - (1 - 6 x) (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x])}{e^{6 x}}$

Etapa 4

Diferencie.

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Etapa 4.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{- 6 e^{3 x} - (1 - 6 x) (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x]))}{e^{6 x}}$

Etapa 4.2

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\frac{- 6 e^{3 x} - 3 (1 - 6 x) (e^{3 x} (\frac{d}{d x} [x]))}{e^{6 x}}$

Etapa 4.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{- 6 e^{3 x} - 3 (1 - 6 x) (e^{3 x} \cdot 1)}{e^{6 x}}$

Etapa 4.4

Multiplique $e^{3 x}$ por $1$ .

$\frac{- 6 e^{3 x} - 3 (1 - 6 x) e^{3 x}}{e^{6 x}}$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- 6 e^{3 x} + (- 3 \cdot 1 - 3 (- 6 x)) e^{3 x}}{e^{6 x}}$

Etapa 5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- 6 e^{3 x} - 3 \cdot 1 e^{3 x} - 3 (- 6 x) e^{3 x}}{e^{6 x}}$

Etapa 5.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.3.1.1

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$\frac{- 6 e^{3 x} - 3 e^{3 x} - 3 (- 6 x) e^{3 x}}{e^{6 x}}$

Etapa 5.3.1.2

Multiplique $- 6$ por $- 3$ .

$\frac{- 6 e^{3 x} - 3 e^{3 x} + 18 x e^{3 x}}{e^{6 x}}$

Etapa 5.3.2

Subtraia $3 e^{3 x}$ de $- 6 e^{3 x}$ .

$\frac{- 9 e^{3 x} + 18 x e^{3 x}}{e^{6 x}}$

Etapa 5.4

Reordene os termos.

$\frac{18 e^{3 x} x - 9 e^{3 x}}{e^{6 x}}$

Etapa 5.5

Fatore $9 e^{3 x}$ de $18 e^{3 x} x - 9 e^{3 x}$ .

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Etapa 5.5.1

Fatore $9 e^{3 x}$ de $18 e^{3 x} x$ .

$\frac{9 e^{3 x} (2 x) - 9 e^{3 x}}{e^{6 x}}$

Etapa 5.5.2

Fatore $9 e^{3 x}$ de $- 9 e^{3 x}$ .

$\frac{9 e^{3 x} (2 x) + 9 e^{3 x} (- 1)}{e^{6 x}}$

Etapa 5.5.3

Fatore $9 e^{3 x}$ de $9 e^{3 x} (2 x) + 9 e^{3 x} (- 1)$ .

$\frac{9 e^{3 x} (2 x - 1)}{e^{6 x}}$

Etapa 5.6

Cancele o fator comum de $e^{3 x}$ e $e^{6 x}$ .

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Etapa 5.6.1

Fatore $e^{6 x}$ de $9 e^{3 x} (2 x - 1)$ .

$\frac{e^{6 x} (9 e^{- 3 x} (2 x - 1))}{e^{6 x}}$

Etapa 5.6.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.6.2.1

Multiplique por $1$ .

$\frac{e^{6 x} (9 e^{- 3 x} (2 x - 1))}{e^{6 x} \cdot 1}$

Etapa 5.6.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{e^{6 x} (9 e^{- 3 x} (2 x - 1))}{e^{6 x} \cdot 1}$

Etapa 5.6.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{9 e^{- 3 x} (2 x - 1)}{1}$

Etapa 5.6.2.4

Divida $9 e^{- 3 x} (2 x - 1)$ por $1$ .

$9 e^{- 3 x} (2 x - 1)$

Etapa 5.7

Aplique a propriedade distributiva.

$9 e^{- 3 x} (2 x) + 9 e^{- 3 x} \cdot - 1$

Etapa 5.8

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$9 \cdot 2 e^{- 3 x} x + 9 e^{- 3 x} \cdot - 1$

Etapa 5.9

Multiplique $- 1$ por $9$ .

$9 \cdot 2 e^{- 3 x} x - 9 e^{- 3 x}$

Etapa 5.10

Multiplique $9$ por $2$ .

$18 e^{- 3 x} x - 9 e^{- 3 x}$

Etapa 5.11

Reordene os fatores em $18 e^{- 3 x} x - 9 e^{- 3 x}$ .

$18 x e^{- 3 x} - 9 e^{- 3 x}$