Cálculo Exemplos

$f (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1.1

Diferencie.

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Etapa 1.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} - 6 x^{2} + 9 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (9 x)$

Etapa 1.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (9 x)$

Etapa 1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

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Etapa 1.1.2.1

Como $- 6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 6 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 6 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (9 x)$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 6 (2 x) + \frac{d}{d x} (9 x)$

Etapa 1.1.2.3

Multiplique $2$ por $- 6$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 12 x + \frac{d}{d x} (9 x)$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [9 x]$ .

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Etapa 1.1.3.1

Como $9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $9 x$ em relação a $x$ é $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 12 x + 9 \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 12 x + 9 \cdot 1$

Etapa 1.1.3.3

Multiplique $9$ por $1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 12 x + 9$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $3 x^{2} - 12 x + 9$ .

$3 x^{2} - 12 x + 9$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $3 x^{2} - 12 x + 9 = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$3 x^{2} - 12 x + 9 = 0$

Etapa 2.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.2.1

Fatore $3$ de $3 x^{2} - 12 x + 9$ .

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Etapa 2.2.1.1

Fatore $3$ de $3 x^{2}$ .

$3 (x^{2}) - 12 x + 9 = 0$

Etapa 2.2.1.2

Fatore $3$ de $- 12 x$ .

$3 (x^{2}) + 3 (- 4 x) + 9 = 0$

Etapa 2.2.1.3

Fatore $3$ de $9$ .

$3 x^{2} + 3 (- 4 x) + 3 \cdot 3 = 0$

Etapa 2.2.1.4

Fatore $3$ de $3 x^{2} + 3 (- 4 x)$ .

$3 (x^{2} - 4 x) + 3 \cdot 3 = 0$

Etapa 2.2.1.5

Fatore $3$ de $3 (x^{2} - 4 x) + 3 \cdot 3$ .

$3 (x^{2} - 4 x + 3) = 0$

Etapa 2.2.2

Fatore.

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Etapa 2.2.2.1

Fatore $x^{2} - 4 x + 3$ usando o método AC.

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Etapa 2.2.2.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $3$ e cuja soma é $- 4$ .

$- 3, - 1$

Etapa 2.2.2.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$3 ((x - 3) (x - 1)) = 0$

Etapa 2.2.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$3 (x - 3) (x - 1) = 0$

Etapa 2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

$x - 1 = 0$

Etapa 2.4

Defina $x - 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.4.1

Defina $x - 3$ como igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Etapa 2.4.2

Some $3$ aos dois lados da equação.

$x = 3$

Etapa 2.5

Defina $x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.5.1

Defina $x - 1$ como igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Etapa 2.5.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Etapa 2.6

A solução final são todos os valores que tornam $3 (x - 3) (x - 1) = 0$ verdadeiro.

$x = 3, 1$

Etapa 3

Os valores, que tornam a derivada igual a $0$ , são $3, 1$ .

$3, 1$

Etapa 4

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, 1) \cup (1, 3) \cup (3, \infty)$

Etapa 5

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, 1)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f' (0) = 3 {(0)}^{2} - 12 \cdot 0 + 9$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 5.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f' (0) = 3 \cdot 0 - 12 \cdot 0 + 9$

Etapa 5.2.1.2

Multiplique $3$ por $0$ .

$f' (0) = 0 - 12 \cdot 0 + 9$

Etapa 5.2.1.3

Multiplique $- 12$ por $0$ .

$f' (0) = 0 + 0 + 9$

Etapa 5.2.2

Simplifique somando os números.

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Etapa 5.2.2.1

Some $0$ e $0$ .

$f' (0) = 0 + 9$

Etapa 5.2.2.2

Some $0$ e $9$ .

$f' (0) = 9$

Etapa 5.2.3

A resposta final é $9$ .

$9$

Etapa 5.3

Em $x = 0$ , a derivada é $9$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(- \infty, 1)$ .

Acréscimo em $(- \infty, 1)$ , pois $f' (x) > 0$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(1, 3)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $2$ na expressão.

$f' (2) = 3 {(2)}^{2} - 12 \cdot 2 + 9$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.2.1.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f' (2) = 3 \cdot 4 - 12 \cdot 2 + 9$

Etapa 6.2.1.2

Multiplique $3$ por $4$ .

$f' (2) = 12 - 12 \cdot 2 + 9$

Etapa 6.2.1.3

Multiplique $- 12$ por $2$ .

$f' (2) = 12 - 24 + 9$

Etapa 6.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 6.2.2.1

Subtraia $24$ de $12$ .

$f' (2) = - 12 + 9$

Etapa 6.2.2.2

Some $- 12$ e $9$ .

$f' (2) = - 3$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $- 3$ .

$- 3$

Etapa 6.3

Em $x = 2$ , a derivada é $- 3$ . Por ser negativa, a função diminui em $(1, 3)$ .

Decréscimo em $(1, 3)$ , pois $f' (x) < 0$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(3, \infty)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $4$ na expressão.

$f' (4) = 3 {(4)}^{2} - 12 \cdot 4 + 9$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 7.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.2.1.1

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$f' (4) = 3 \cdot 16 - 12 \cdot 4 + 9$

Etapa 7.2.1.2

Multiplique $3$ por $16$ .

$f' (4) = 48 - 12 \cdot 4 + 9$

Etapa 7.2.1.3

Multiplique $- 12$ por $4$ .

$f' (4) = 48 - 48 + 9$

Etapa 7.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 7.2.2.1

Subtraia $48$ de $48$ .

$f' (4) = 0 + 9$

Etapa 7.2.2.2

Some $0$ e $9$ .

$f' (4) = 9$

Etapa 7.2.3

A resposta final é $9$ .

$9$

Etapa 7.3

Em $x = 4$ , a derivada é $9$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(3, \infty)$ .

Acréscimo em $(3, \infty)$ , pois $f' (x) > 0$

Etapa 8

Liste os intervalos em que a função é crescente e decrescente.

Acréscimo em: $(- \infty, 1), (3, \infty)$

Decréscimo em: $(1, 3)$

Etapa 9