Cálculo Exemplos

${(1 - \cos (x))}^{2}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = 1 - \cos (x)$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $1 - \cos (x)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $1 - \cos (x)$ .

$2 (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - \cos (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$2 (1 - \cos (x)) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)])$

Etapa 2.2

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 (1 - \cos (x)) (0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)])$

Etapa 2.3

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$2 (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Etapa 2.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \cos (x)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$2 (1 - \cos (x)) (- \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Etapa 2.5

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- 2 (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Etapa 3

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$- 2 (1 - \cos (x)) (- \sin (x))$

Etapa 4

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$2 (1 - \cos (x)) \sin (x)$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$(2 \cdot 1 + 2 (- \cos (x))) \sin (x)$

Etapa 5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$2 \cdot 1 \sin (x) + 2 (- \cos (x)) \sin (x)$

Etapa 5.3

Combine os termos.

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Etapa 5.3.1

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 \sin (x) + 2 (- \cos (x)) \sin (x)$

Etapa 5.3.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$2 \sin (x) - 2 \cos (x) \sin (x)$

Etapa 5.4

Reordene os termos.

$- 2 \cos (x) \sin (x) + 2 \sin (x)$