Cálculo Exemplos

$(5 x^{4} - x + 2) (- x^{5} + 9)$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = 5 x^{4} - x + 2$ e $g (x) = - x^{5} + 9$ .

$(5 x^{4} - x + 2) \frac{d}{d x} [- x^{5} + 9] + (- x^{5} + 9) \frac{d}{d x} [5 x^{4} - x + 2]$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- x^{5} + 9$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- x^{5}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$(5 x^{4} - x + 2) (\frac{d}{d x} [- x^{5}] + \frac{d}{d x} [9]) + (- x^{5} + 9) \frac{d}{d x} [5 x^{4} - x + 2]$

Etapa 2.2

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{5}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$(5 x^{4} - x + 2) (- \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [9]) + (- x^{5} + 9) \frac{d}{d x} [5 x^{4} - x + 2]$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$(5 x^{4} - x + 2) (- (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [9]) + (- x^{5} + 9) \frac{d}{d x} [5 x^{4} - x + 2]$

Etapa 2.4

Multiplique $5$ por $- 1$ .

$(5 x^{4} - x + 2) (- 5 x^{4} + \frac{d}{d x} [9]) + (- x^{5} + 9) \frac{d}{d x} [5 x^{4} - x + 2]$

Etapa 2.5

Como $9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $9$ em relação a $x$ é $0$ .

$(5 x^{4} - x + 2) (- 5 x^{4} + 0) + (- x^{5} + 9) \frac{d}{d x} [5 x^{4} - x + 2]$

Etapa 2.6

Some $- 5 x^{4}$ e $0$ .

$(5 x^{4} - x + 2) (- 5 x^{4}) + (- x^{5} + 9) \frac{d}{d x} [5 x^{4} - x + 2]$

Etapa 2.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 x^{4} - x + 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$(5 x^{4} - x + 2) (- 5 x^{4}) + (- x^{5} + 9) (\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [2])$

Etapa 2.8

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x^{4}$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$(5 x^{4} - x + 2) (- 5 x^{4}) + (- x^{5} + 9) (5 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [2])$

Etapa 2.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$(5 x^{4} - x + 2) (- 5 x^{4}) + (- x^{5} + 9) (5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [2])$

Etapa 2.10

Multiplique $4$ por $5$ .

$(5 x^{4} - x + 2) (- 5 x^{4}) + (- x^{5} + 9) (20 x^{3} + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [2])$

Etapa 2.11

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$(5 x^{4} - x + 2) (- 5 x^{4}) + (- x^{5} + 9) (20 x^{3} - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])$

Etapa 2.12

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$(5 x^{4} - x + 2) (- 5 x^{4}) + (- x^{5} + 9) (20 x^{3} - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2])$

Etapa 2.13

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$(5 x^{4} - x + 2) (- 5 x^{4}) + (- x^{5} + 9) (20 x^{3} - 1 + \frac{d}{d x} [2])$

Etapa 2.14

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$(5 x^{4} - x + 2) (- 5 x^{4}) + (- x^{5} + 9) (20 x^{3} - 1 + 0)$

Etapa 2.15

Some $20 x^{3} - 1$ e $0$ .

$(5 x^{4} - x + 2) (- 5 x^{4}) + (- x^{5} + 9) (20 x^{3} - 1)$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$5 x^{4} (- 5 x^{4}) - x (- 5 x^{4}) + 2 (- 5 x^{4}) + (- x^{5} + 9) (20 x^{3} - 1)$

Etapa 3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$5 x^{4} (- 5 x^{4}) - x (- 5 x^{4}) + 2 (- 5 x^{4}) + (- x^{5} + 9) (20 x^{3}) + (- x^{5} + 9) \cdot - 1$

Etapa 3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$5 x^{4} (- 5 x^{4}) - x (- 5 x^{4}) + 2 (- 5 x^{4}) - x^{5} (20 x^{3}) + 9 (20 x^{3}) + (- x^{5} + 9) \cdot - 1$

Etapa 3.4

Aplique a propriedade distributiva.

$5 x^{4} (- 5 x^{4}) - x (- 5 x^{4}) + 2 (- 5 x^{4}) - x^{5} (20 x^{3}) + 9 (20 x^{3}) - x^{5} \cdot - 1 + 9 \cdot - 1$

Etapa 3.5

Combine os termos.

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Etapa 3.5.1

Multiplique $- 5$ por $5$ .

$- 25 x^{4} x^{4} - x (- 5 x^{4}) + 2 (- 5 x^{4}) - x^{5} (20 x^{3}) + 9 (20 x^{3}) - x^{5} \cdot - 1 + 9 \cdot - 1$

Etapa 3.5.2

Multiplique $x^{4}$ por $x^{4}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.5.2.1

Mova $x^{4}$ .

$- 25 (x^{4} x^{4}) - x (- 5 x^{4}) + 2 (- 5 x^{4}) - x^{5} (20 x^{3}) + 9 (20 x^{3}) - x^{5} \cdot - 1 + 9 \cdot - 1$

Etapa 3.5.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- 25 x^{4 + 4} - x (- 5 x^{4}) + 2 (- 5 x^{4}) - x^{5} (20 x^{3}) + 9 (20 x^{3}) - x^{5} \cdot - 1 + 9 \cdot - 1$

Etapa 3.5.2.3

Some $4$ e $4$ .

$- 25 x^{8} - x (- 5 x^{4}) + 2 (- 5 x^{4}) - x^{5} (20 x^{3}) + 9 (20 x^{3}) - x^{5} \cdot - 1 + 9 \cdot - 1$

Etapa 3.5.3

Multiplique $- 5$ por $- 1$ .

$- 25 x^{8} + 5 x \cdot x^{4} + 2 (- 5 x^{4}) - x^{5} (20 x^{3}) + 9 (20 x^{3}) - x^{5} \cdot - 1 + 9 \cdot - 1$

Etapa 3.5.4

Multiplique $x$ por $x^{4}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.5.4.1

Mova $x^{4}$ .

$- 25 x^{8} + 5 (x^{4} x) + 2 (- 5 x^{4}) - x^{5} (20 x^{3}) + 9 (20 x^{3}) - x^{5} \cdot - 1 + 9 \cdot - 1$

Etapa 3.5.4.2

Multiplique $x^{4}$ por $x$ .

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Etapa 3.5.4.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$- 25 x^{8} + 5 (x^{4} x^{1}) + 2 (- 5 x^{4}) - x^{5} (20 x^{3}) + 9 (20 x^{3}) - x^{5} \cdot - 1 + 9 \cdot - 1$

Etapa 3.5.4.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- 25 x^{8} + 5 x^{4 + 1} + 2 (- 5 x^{4}) - x^{5} (20 x^{3}) + 9 (20 x^{3}) - x^{5} \cdot - 1 + 9 \cdot - 1$

Etapa 3.5.4.3

Some $4$ e $1$ .

$- 25 x^{8} + 5 x^{5} + 2 (- 5 x^{4}) - x^{5} (20 x^{3}) + 9 (20 x^{3}) - x^{5} \cdot - 1 + 9 \cdot - 1$

Etapa 3.5.5

Multiplique $- 5$ por $2$ .

$- 25 x^{8} + 5 x^{5} - 10 x^{4} - x^{5} (20 x^{3}) + 9 (20 x^{3}) - x^{5} \cdot - 1 + 9 \cdot - 1$

Etapa 3.5.6

Multiplique $20$ por $- 1$ .

$- 25 x^{8} + 5 x^{5} - 10 x^{4} - 20 x^{5} x^{3} + 9 (20 x^{3}) - x^{5} \cdot - 1 + 9 \cdot - 1$

Etapa 3.5.7

Multiplique $x^{5}$ por $x^{3}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.5.7.1

Mova $x^{3}$ .

$- 25 x^{8} + 5 x^{5} - 10 x^{4} - 20 (x^{3} x^{5}) + 9 (20 x^{3}) - x^{5} \cdot - 1 + 9 \cdot - 1$

Etapa 3.5.7.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- 25 x^{8} + 5 x^{5} - 10 x^{4} - 20 x^{3 + 5} + 9 (20 x^{3}) - x^{5} \cdot - 1 + 9 \cdot - 1$

Etapa 3.5.7.3

Some $3$ e $5$ .

$- 25 x^{8} + 5 x^{5} - 10 x^{4} - 20 x^{8} + 9 (20 x^{3}) - x^{5} \cdot - 1 + 9 \cdot - 1$

Etapa 3.5.8

Multiplique $20$ por $9$ .

$- 25 x^{8} + 5 x^{5} - 10 x^{4} - 20 x^{8} + 180 x^{3} - x^{5} \cdot - 1 + 9 \cdot - 1$

Etapa 3.5.9

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$- 25 x^{8} + 5 x^{5} - 10 x^{4} - 20 x^{8} + 180 x^{3} + 1 x^{5} + 9 \cdot - 1$

Etapa 3.5.10

Multiplique $x^{5}$ por $1$ .

$- 25 x^{8} + 5 x^{5} - 10 x^{4} - 20 x^{8} + 180 x^{3} + x^{5} + 9 \cdot - 1$

Etapa 3.5.11

Multiplique $9$ por $- 1$ .

$- 25 x^{8} + 5 x^{5} - 10 x^{4} - 20 x^{8} + 180 x^{3} + x^{5} - 9$

Etapa 3.5.12

Subtraia $20 x^{8}$ de $- 25 x^{8}$ .

$- 45 x^{8} + 5 x^{5} - 10 x^{4} + 180 x^{3} + x^{5} - 9$

Etapa 3.5.13

Some $5 x^{5}$ e $x^{5}$ .

$- 45 x^{8} + 6 x^{5} - 10 x^{4} + 180 x^{3} - 9$