Cálculo Exemplos

$(5 x^{2} - 10 x + 10) e^{x}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = 5 x^{2} - 10 x + 10$ e $g (x) = e^{x}$ .

$(5 x^{2} - 10 x + 10) \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 10 x + 10]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$(5 x^{2} - 10 x + 10) e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 10 x + 10]$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 x^{2} - 10 x + 10$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [10]$ .

$(5 x^{2} - 10 x + 10) e^{x} + e^{x} (\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [10])$

Etapa 3.2

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x^{2}$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(5 x^{2} - 10 x + 10) e^{x} + e^{x} (5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [10])$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$(5 x^{2} - 10 x + 10) e^{x} + e^{x} (5 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [10])$

Etapa 3.4

Multiplique $2$ por $5$ .

$(5 x^{2} - 10 x + 10) e^{x} + e^{x} (10 x + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [10])$

Etapa 3.5

Como $- 10$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 10 x$ em relação a $x$ é $- 10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(5 x^{2} - 10 x + 10) e^{x} + e^{x} (10 x - 10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [10])$

Etapa 3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$(5 x^{2} - 10 x + 10) e^{x} + e^{x} (10 x - 10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [10])$

Etapa 3.7

Multiplique $- 10$ por $1$ .

$(5 x^{2} - 10 x + 10) e^{x} + e^{x} (10 x - 10 + \frac{d}{d x} [10])$

Etapa 3.8

Como $10$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $10$ em relação a $x$ é $0$ .

$(5 x^{2} - 10 x + 10) e^{x} + e^{x} (10 x - 10 + 0)$

Etapa 3.9

Some $10 x - 10$ e $0$ .

$(5 x^{2} - 10 x + 10) e^{x} + e^{x} (10 x - 10)$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$5 x^{2} e^{x} - 10 x e^{x} + 10 e^{x} + e^{x} (10 x - 10)$

Etapa 4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$5 x^{2} e^{x} - 10 x e^{x} + 10 e^{x} + e^{x} (10 x) + e^{x} \cdot - 10$

Etapa 4.3

Combine os termos.

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Etapa 4.3.1

Mova $- 10$ para a esquerda de $e^{x}$ .

$5 x^{2} e^{x} - 10 x e^{x} + 10 e^{x} + e^{x} (10 x) - 10 \cdot e^{x}$

Etapa 4.3.2

Some $- 10 x e^{x}$ e $e^{x} (10 x)$ .

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Etapa 4.3.2.1

Mova $e^{x}$ .

$5 x^{2} e^{x} + 10 e^{x} - 10 x e^{x} + 10 x e^{x} - 10 e^{x}$

Etapa 4.3.2.2

Some $- 10 x e^{x}$ e $10 x e^{x}$ .

$5 x^{2} e^{x} + 10 e^{x} + 0 - 10 e^{x}$

Etapa 4.3.3

Some $5 x^{2} e^{x} + 10 e^{x}$ e $0$ .

$5 x^{2} e^{x} + 10 e^{x} - 10 e^{x}$

Etapa 4.3.4

Subtraia $10 e^{x}$ de $10 e^{x}$ .

$5 x^{2} e^{x} + 0$

Etapa 4.3.5

Some $5 x^{2} e^{x}$ e $0$ .

$5 x^{2} e^{x}$

Etapa 4.4

Reordene os fatores de $5 x^{2} e^{x}$ .

$5 e^{x} x^{2}$

Etapa 4.5

Reordene os fatores em $5 e^{x} x^{2}$ .

$5 x^{2} e^{x}$