Cálculo Exemplos

$(4 x + 1) {(1 - x)}^{3}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = 4 x + 1$ e $g (x) = {(1 - x)}^{3}$ .

$(4 x + 1) \frac{d}{d x} [{(1 - x)}^{3}] + {(1 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [4 x + 1]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = 1 - x$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $1 - x$ .

$(4 x + 1) (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [1 - x]) + {(1 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [4 x + 1]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$(4 x + 1) (3 u^{2} \frac{d}{d x} [1 - x]) + {(1 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [4 x + 1]$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $1 - x$ .

$(4 x + 1) (3 {(1 - x)}^{2} \frac{d}{d x} [1 - x]) + {(1 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [4 x + 1]$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

Mova $3$ para a esquerda de $4 x + 1$ .

$3 \cdot (4 x + 1) {(1 - x)}^{2} \frac{d}{d x} [1 - x] + {(1 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [4 x + 1]$

Etapa 3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$3 (4 x + 1) {(1 - x)}^{2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]) + {(1 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [4 x + 1]$

Etapa 3.3

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$3 (4 x + 1) {(1 - x)}^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + {(1 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [4 x + 1]$

Etapa 3.4

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$3 (4 x + 1) {(1 - x)}^{2} \frac{d}{d x} [- x] + {(1 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [4 x + 1]$

Etapa 3.5

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 (4 x + 1) {(1 - x)}^{2} (- \frac{d}{d x} [x]) + {(1 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [4 x + 1]$

Etapa 3.6

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$- 3 (4 x + 1) {(1 - x)}^{2} \frac{d}{d x} [x] + {(1 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [4 x + 1]$

Etapa 3.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 3 (4 x + 1) {(1 - x)}^{2} \cdot 1 + {(1 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [4 x + 1]$

Etapa 3.8

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$- 3 (4 x + 1) {(1 - x)}^{2} + {(1 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [4 x + 1]$

Etapa 3.9

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- 3 (4 x + 1) {(1 - x)}^{2} + {(1 - x)}^{3} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 3.10

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 (4 x + 1) {(1 - x)}^{2} + {(1 - x)}^{3} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 3.11

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 3 (4 x + 1) {(1 - x)}^{2} + {(1 - x)}^{3} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 3.12

Multiplique $4$ por $1$ .

$- 3 (4 x + 1) {(1 - x)}^{2} + {(1 - x)}^{3} (4 + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 3.13

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$- 3 (4 x + 1) {(1 - x)}^{2} + {(1 - x)}^{3} (4 + 0)$

Etapa 3.14

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.14.1

Some $4$ e $0$ .

$- 3 (4 x + 1) {(1 - x)}^{2} + {(1 - x)}^{3} \cdot 4$

Etapa 3.14.2

Mova $4$ para a esquerda de ${(1 - x)}^{3}$ .

$- 3 (4 x + 1) {(1 - x)}^{2} + 4 \cdot {(1 - x)}^{3}$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$(- 3 (4 x) - 3 \cdot 1) {(1 - x)}^{2} + 4 {(1 - x)}^{3}$

Etapa 4.2

Multiplique $4$ por $- 3$ .

$(- 12 x - 3 \cdot 1) {(1 - x)}^{2} + 4 {(1 - x)}^{3}$

Etapa 4.3

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$(- 12 x - 3) {(1 - x)}^{2} + 4 {(1 - x)}^{3}$

Etapa 4.4

Fatore ${(1 - x)}^{2}$ de $(- 12 x - 3) {(1 - x)}^{2} + 4 {(1 - x)}^{3}$ .

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Etapa 4.4.1

Fatore ${(1 - x)}^{2}$ de $(- 12 x - 3) {(1 - x)}^{2}$ .

${(1 - x)}^{2} (- 12 x - 3) + 4 {(1 - x)}^{3}$

Etapa 4.4.2

Fatore ${(1 - x)}^{2}$ de $4 {(1 - x)}^{3}$ .

${(1 - x)}^{2} (- 12 x - 3) + {(1 - x)}^{2} (4 (1 - x))$

Etapa 4.4.3

Fatore ${(1 - x)}^{2}$ de ${(1 - x)}^{2} (- 12 x - 3) + {(1 - x)}^{2} (4 (1 - x))$ .

${(1 - x)}^{2} (- 12 x - 3 + 4 (1 - x))$

Etapa 4.5

Reescreva ${(1 - x)}^{2}$ como $(1 - x) (1 - x)$ .

$(1 - x) (1 - x) (- 12 x - 3 + 4 (1 - x))$

Etapa 4.6

Expanda $(1 - x) (1 - x)$ usando o método FOIL.

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Etapa 4.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$(1 (1 - x) - x (1 - x)) (- 12 x - 3 + 4 (1 - x))$

Etapa 4.6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$(1 \cdot 1 + 1 (- x) - x (1 - x)) (- 12 x - 3 + 4 (1 - x))$

Etapa 4.6.3

Aplique a propriedade distributiva.

$(1 \cdot 1 + 1 (- x) - x \cdot 1 - x (- x)) (- 12 x - 3 + 4 (1 - x))$

Etapa 4.7

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 4.7.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.7.1.1

Multiplique $1$ por $1$ .

$(1 + 1 (- x) - x \cdot 1 - x (- x)) (- 12 x - 3 + 4 (1 - x))$

Etapa 4.7.1.2

Multiplique $- x$ por $1$ .

$(1 - x - x \cdot 1 - x (- x)) (- 12 x - 3 + 4 (1 - x))$

Etapa 4.7.1.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$(1 - x - x - x (- x)) (- 12 x - 3 + 4 (1 - x))$

Etapa 4.7.1.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$(1 - x - x - 1 \cdot - 1 x \cdot x) (- 12 x - 3 + 4 (1 - x))$

Etapa 4.7.1.5

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 4.7.1.5.1

Mova $x$ .

$(1 - x - x - 1 \cdot - 1 (x \cdot x)) (- 12 x - 3 + 4 (1 - x))$

Etapa 4.7.1.5.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$(1 - x - x - 1 \cdot - 1 x^{2}) (- 12 x - 3 + 4 (1 - x))$

Etapa 4.7.1.6

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$(1 - x - x + 1 x^{2}) (- 12 x - 3 + 4 (1 - x))$

Etapa 4.7.1.7

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$(1 - x - x + x^{2}) (- 12 x - 3 + 4 (1 - x))$

Etapa 4.7.2

Subtraia $x$ de $- x$ .

$(1 - 2 x + x^{2}) (- 12 x - 3 + 4 (1 - x))$

Etapa 4.8

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.8.1

Aplique a propriedade distributiva.

$(1 - 2 x + x^{2}) (- 12 x - 3 + 4 \cdot 1 + 4 (- x))$

Etapa 4.8.2

Multiplique $4$ por $1$ .

$(1 - 2 x + x^{2}) (- 12 x - 3 + 4 + 4 (- x))$

Etapa 4.8.3

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$(1 - 2 x + x^{2}) (- 12 x - 3 + 4 - 4 x)$

Etapa 4.9

Subtraia $4 x$ de $- 12 x$ .

$(1 - 2 x + x^{2}) (- 16 x - 3 + 4)$

Etapa 4.10

Some $- 3$ e $4$ .

$(1 - 2 x + x^{2}) (- 16 x + 1)$

Etapa 4.11

Expanda $(1 - 2 x + x^{2}) (- 16 x + 1)$ multiplicando cada termo na primeira expressão por cada um dos termos na segunda expressão.

$1 (- 16 x) + 1 \cdot 1 - 2 x (- 16 x) - 2 x \cdot 1 + x^{2} (- 16 x) + x^{2} \cdot 1$

Etapa 4.12

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.12.1

Multiplique $- 16 x$ por $1$ .

$- 16 x + 1 \cdot 1 - 2 x (- 16 x) - 2 x \cdot 1 + x^{2} (- 16 x) + x^{2} \cdot 1$

Etapa 4.12.2

Multiplique $1$ por $1$ .

$- 16 x + 1 - 2 x (- 16 x) - 2 x \cdot 1 + x^{2} (- 16 x) + x^{2} \cdot 1$

Etapa 4.12.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$- 16 x + 1 - 2 \cdot - 16 x \cdot x - 2 x \cdot 1 + x^{2} (- 16 x) + x^{2} \cdot 1$

Etapa 4.12.4

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 4.12.4.1

Mova $x$ .

$- 16 x + 1 - 2 \cdot - 16 (x \cdot x) - 2 x \cdot 1 + x^{2} (- 16 x) + x^{2} \cdot 1$

Etapa 4.12.4.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$- 16 x + 1 - 2 \cdot - 16 x^{2} - 2 x \cdot 1 + x^{2} (- 16 x) + x^{2} \cdot 1$

Etapa 4.12.5

Multiplique $- 2$ por $- 16$ .

$- 16 x + 1 + 32 x^{2} - 2 x \cdot 1 + x^{2} (- 16 x) + x^{2} \cdot 1$

Etapa 4.12.6

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$- 16 x + 1 + 32 x^{2} - 2 x + x^{2} (- 16 x) + x^{2} \cdot 1$

Etapa 4.12.7

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$- 16 x + 1 + 32 x^{2} - 2 x - 16 x^{2} x + x^{2} \cdot 1$

Etapa 4.12.8

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 4.12.8.1

Mova $x$ .

$- 16 x + 1 + 32 x^{2} - 2 x - 16 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot 1$

Etapa 4.12.8.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

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Etapa 4.12.8.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$- 16 x + 1 + 32 x^{2} - 2 x - 16 (x^{1} x^{2}) + x^{2} \cdot 1$

Etapa 4.12.8.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- 16 x + 1 + 32 x^{2} - 2 x - 16 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot 1$

Etapa 4.12.8.3

Some $1$ e $2$ .

$- 16 x + 1 + 32 x^{2} - 2 x - 16 x^{3} + x^{2} \cdot 1$

Etapa 4.12.9

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$- 16 x + 1 + 32 x^{2} - 2 x - 16 x^{3} + x^{2}$

Etapa 4.13

Subtraia $2 x$ de $- 16 x$ .

$- 18 x + 1 + 32 x^{2} - 16 x^{3} + x^{2}$

Etapa 4.14

Some $32 x^{2}$ e $x^{2}$ .

$- 18 x + 1 - 16 x^{3} + 33 x^{2}$