Cálculo Exemplos

${(\arctan (2 x))}^{2}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \arctan (2 x)$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $\arctan (2 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\arctan (2 x)]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [\arctan (2 x)]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $\arctan (2 x)$ .

$2 \arctan (2 x) \frac{d}{d x} [\arctan (2 x)]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \arctan (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $2 x$ .

$2 \arctan (2 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\arctan (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 2.2

A derivada de $\arctan (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $\frac{1}{1 + {u_{2}}^{2}}$ .

$2 \arctan (2 x) (\frac{1}{1 + {u_{2}}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $2 x$ .

$2 \arctan (2 x) (\frac{1}{1 + {(2 x)}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

Fatore $2$ de $2 x$ .

$2 \arctan (2 x) (\frac{1}{1 + {(2 (x))}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 3.2

Combine frações.

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Etapa 3.2.1

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.2.1.1

Aplique a regra do produto a $2 (x)$ .

$2 \arctan (2 x) (\frac{1}{1 + 2^{2} x^{2}} \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 3.2.1.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$2 \arctan (2 x) (\frac{1}{1 + 4 x^{2}} \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 3.2.2

Combine $\frac{1}{1 + 4 x^{2}}$ e $2$ .

$\frac{2}{1 + 4 x^{2}} \arctan (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 3.2.3

Combine $\frac{2}{1 + 4 x^{2}}$ e $\arctan (2 x)$ .

$\frac{2 \arctan (2 x)}{1 + 4 x^{2}} \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 3.3

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2 \arctan (2 x)}{1 + 4 x^{2}} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.4

Combine frações.

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Etapa 3.4.1

Combine $2$ e $\frac{2 \arctan (2 x)}{1 + 4 x^{2}}$ .

$\frac{2 (2 \arctan (2 x))}{1 + 4 x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.4.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{4 \arctan (2 x)}{1 + 4 x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{4 \arctan (2 x)}{1 + 4 x^{2}} \cdot 1$

Etapa 3.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.6.1

Multiplique $\frac{4 \arctan (2 x)}{1 + 4 x^{2}}$ por $1$ .

$\frac{4 \arctan (2 x)}{1 + 4 x^{2}}$

Etapa 3.6.2

Reordene os termos.

$\frac{4 \arctan (2 x)}{4 x^{2} + 1}$