Cálculo Exemplos

$(\frac{x^{3}}{9}) (3 \ln (x) - 1)$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = \frac{x^{3}}{9}$ e $g (x) = 3 \ln (x) - 1$ .

$\frac{x^{3}}{9} \frac{d}{d x} [3 \ln (x) - 1] + (3 \ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{9}]$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 \ln (x) - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{x^{3}}{9} (\frac{d}{d x} [3 \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (3 \ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{9}]$

Etapa 2.2

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 \ln (x)$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$\frac{x^{3}}{9} (3 \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (3 \ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{9}]$

Etapa 3

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x^{3}}{9} (3 \frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [- 1]) + (3 \ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{9}]$

Etapa 4

Diferencie.

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Etapa 4.1

Combine $3$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x^{3}}{9} (\frac{3}{x} + \frac{d}{d x} [- 1]) + (3 \ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{9}]$

Etapa 4.2

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{x^{3}}{9} (\frac{3}{x} + 0) + (3 \ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{9}]$

Etapa 4.3

Simplifique os termos.

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Etapa 4.3.1

Some $\frac{3}{x}$ e $0$ .

$\frac{x^{3}}{9} \cdot \frac{3}{x} + (3 \ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{9}]$

Etapa 4.3.2

Multiplique $\frac{x^{3}}{9}$ por $\frac{3}{x}$ .

$\frac{x^{3} \cdot 3}{9 x} + (3 \ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{9}]$

Etapa 4.3.3

Mova $3$ para a esquerda de $x^{3}$ .

$\frac{3 \cdot x^{3}}{9 x} + (3 \ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{9}]$

Etapa 4.3.4

Cancele o fator comum de $3$ e $9$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.4.1

Fatore $3$ de $3 x^{3}$ .

$\frac{3 (x^{3})}{9 x} + (3 \ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{9}]$

Etapa 4.3.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.4.2.1

Fatore $3$ de $9 x$ .

$\frac{3 (x^{3})}{3 (3 x)} + (3 \ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{9}]$

Etapa 4.3.4.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x^{3}}{3 (3 x)} + (3 \ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{9}]$

Etapa 4.3.4.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{x^{3}}{3 x} + (3 \ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{9}]$

Etapa 4.3.5

Cancele o fator comum de $x^{3}$ e $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.5.1

Fatore $x$ de $x^{3}$ .

$\frac{x \cdot x^{2}}{3 x} + (3 \ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{9}]$

Etapa 4.3.5.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.5.2.1

Fatore $x$ de $3 x$ .

$\frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 3} + (3 \ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{9}]$

Etapa 4.3.5.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 3} + (3 \ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{9}]$

Etapa 4.3.5.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{x^{2}}{3} + (3 \ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{9}]$

Etapa 4.4

Como $\frac{1}{9}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{x^{3}}{9}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{9} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{x^{2}}{3} + (3 \ln (x) - 1) (\frac{1}{9} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Etapa 4.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$\frac{x^{2}}{3} + (3 \ln (x) - 1) \frac{1}{9} (3 x^{2})$

Etapa 4.6

Simplifique os termos.

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Etapa 4.6.1

Combine $3$ e $\frac{1}{9}$ .

$\frac{x^{2}}{3} + (3 \ln (x) - 1) \frac{3}{9} x^{2}$

Etapa 4.6.2

Combine $x^{2}$ e $\frac{3}{9}$ .

$\frac{x^{2}}{3} + (3 \ln (x) - 1) \frac{x^{2} \cdot 3}{9}$

Etapa 4.6.3

Mova $3$ para a esquerda de $x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{3} + (3 \ln (x) - 1) \frac{3 \cdot x^{2}}{9}$

Etapa 4.6.4

Cancele o fator comum de $3$ e $9$ .

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Etapa 4.6.4.1

Fatore $3$ de $3 x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{3} + (3 \ln (x) - 1) \frac{3 (x^{2})}{9}$

Etapa 4.6.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.6.4.2.1

Fatore $3$ de $9$ .

$\frac{x^{2}}{3} + (3 \ln (x) - 1) \frac{3 x^{2}}{3 \cdot 3}$

Etapa 4.6.4.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{x^{2}}{3} + (3 \ln (x) - 1) \frac{3 x^{2}}{3 \cdot 3}$

Etapa 4.6.4.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{x^{2}}{3} + (3 \ln (x) - 1) \frac{x^{2}}{3}$

Etapa 5

Para escrever $(3 \ln (x) - 1) \frac{x^{2}}{3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x^{2}}{3} + (3 \ln (x) - 1) \frac{x^{2}}{3} \cdot \frac{3}{3}$

Etapa 6

Combine $(3 \ln (x) - 1) \frac{x^{2}}{3}$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x^{2}}{3} + \frac{(3 \ln (x) - 1) \frac{x^{2}}{3} \cdot 3}{3}$

Etapa 7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{x^{2} + (3 \ln (x) - 1) \frac{x^{2}}{3} \cdot 3}{3}$

Etapa 8

Combine $3$ e $\frac{x^{2}}{3}$ .

$\frac{x^{2} + (3 \ln (x) - 1) \frac{3 x^{2}}{3}}{3}$

Etapa 9

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 9.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x^{2} + (3 \ln (x) - 1) \frac{3 x^{2}}{3}}{3}$

Etapa 9.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$\frac{x^{2} + (3 \ln (x) - 1) x^{2}}{3}$

Etapa 10

Simplifique.

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Etapa 10.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{2} + 3 \ln (x) x^{2} - 1 x^{2}}{3}$

Etapa 10.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 10.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 10.2.1.1

Simplifique $3 \ln (x)$ movendo $3$ para dentro do logaritmo.

$\frac{x^{2} + \ln (x^{3}) x^{2} - 1 x^{2}}{3}$

Etapa 10.2.1.2

Reescreva $- 1 x^{2}$ como $- x^{2}$ .

$\frac{x^{2} + \ln (x^{3}) x^{2} - x^{2}}{3}$

Etapa 10.2.2

Combine os termos opostos em $x^{2} + \ln (x^{3}) x^{2} - x^{2}$ .

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Etapa 10.2.2.1

Subtraia $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$\frac{\ln (x^{3}) x^{2} + 0}{3}$

Etapa 10.2.2.2

Some $\ln (x^{3}) x^{2}$ e $0$ .

$\frac{\ln (x^{3}) x^{2}}{3}$

Etapa 10.2.3

Reordene os fatores em $\ln (x^{3}) x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \ln (x^{3})}{3}$

Etapa 10.3

Expanda $\ln (x^{3})$ movendo $3$ para fora do logaritmo.

$\frac{x^{2} (3 \ln (x))}{3}$

Etapa 10.4

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 10.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x^{2} (3 \ln (x))}{3}$

Etapa 10.4.2

Divida $x^{2} (\ln (x))$ por $1$ .

$x^{2} (\ln (x))$