Cálculo Exemplos

$(10 x^{2} - 20 x + 20) e^{- 7 x}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = 10 x^{2} - 20 x + 20$ e $g (x) = e^{- 7 x}$ .

$(10 x^{2} - 20 x + 20) \frac{d}{d x} [e^{- 7 x}] + e^{- 7 x} \frac{d}{d x} [10 x^{2} - 20 x + 20]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - 7 x$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $- 7 x$ .

$(10 x^{2} - 20 x + 20) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 7 x]) + e^{- 7 x} \frac{d}{d x} [10 x^{2} - 20 x + 20]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$(10 x^{2} - 20 x + 20) (e^{u} \frac{d}{d x} [- 7 x]) + e^{- 7 x} \frac{d}{d x} [10 x^{2} - 20 x + 20]$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- 7 x$ .

$(10 x^{2} - 20 x + 20) (e^{- 7 x} \frac{d}{d x} [- 7 x]) + e^{- 7 x} \frac{d}{d x} [10 x^{2} - 20 x + 20]$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

Como $- 7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 7 x$ em relação a $x$ é $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(10 x^{2} - 20 x + 20) e^{- 7 x} (- 7 \frac{d}{d x} [x]) + e^{- 7 x} \frac{d}{d x} [10 x^{2} - 20 x + 20]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$(10 x^{2} - 20 x + 20) e^{- 7 x} (- 7 \cdot 1) + e^{- 7 x} \frac{d}{d x} [10 x^{2} - 20 x + 20]$

Etapa 3.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.3.1

Multiplique $- 7$ por $1$ .

$(10 x^{2} - 20 x + 20) e^{- 7 x} \cdot - 7 + e^{- 7 x} \frac{d}{d x} [10 x^{2} - 20 x + 20]$

Etapa 3.3.2

Mova $- 7$ para a esquerda de $(10 x^{2} - 20 x + 20) e^{- 7 x}$ .

$- 7 \cdot ((10 x^{2} - 20 x + 20) e^{- 7 x}) + e^{- 7 x} \frac{d}{d x} [10 x^{2} - 20 x + 20]$

Etapa 3.4

De acordo com a regra da soma, a derivada de $10 x^{2} - 20 x + 20$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [10 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 20 x] + \frac{d}{d x} [20]$ .

$- 7 (10 x^{2} - 20 x + 20) e^{- 7 x} + e^{- 7 x} (\frac{d}{d x} [10 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 20 x] + \frac{d}{d x} [20])$

Etapa 3.5

Como $10$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $10 x^{2}$ em relação a $x$ é $10 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 7 (10 x^{2} - 20 x + 20) e^{- 7 x} + e^{- 7 x} (10 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 20 x] + \frac{d}{d x} [20])$

Etapa 3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- 7 (10 x^{2} - 20 x + 20) e^{- 7 x} + e^{- 7 x} (10 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 20 x] + \frac{d}{d x} [20])$

Etapa 3.7

Multiplique $2$ por $10$ .

$- 7 (10 x^{2} - 20 x + 20) e^{- 7 x} + e^{- 7 x} (20 x + \frac{d}{d x} [- 20 x] + \frac{d}{d x} [20])$

Etapa 3.8

Como $- 20$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 20 x$ em relação a $x$ é $- 20 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 7 (10 x^{2} - 20 x + 20) e^{- 7 x} + e^{- 7 x} (20 x - 20 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [20])$

Etapa 3.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 7 (10 x^{2} - 20 x + 20) e^{- 7 x} + e^{- 7 x} (20 x - 20 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [20])$

Etapa 3.10

Multiplique $- 20$ por $1$ .

$- 7 (10 x^{2} - 20 x + 20) e^{- 7 x} + e^{- 7 x} (20 x - 20 + \frac{d}{d x} [20])$

Etapa 3.11

Como $20$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $20$ em relação a $x$ é $0$ .

$- 7 (10 x^{2} - 20 x + 20) e^{- 7 x} + e^{- 7 x} (20 x - 20 + 0)$

Etapa 3.12

Some $20 x - 20$ e $0$ .

$- 7 (10 x^{2} - 20 x + 20) e^{- 7 x} + e^{- 7 x} (20 x - 20)$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$(- 7 (10 x^{2}) - 7 (- 20 x) - 7 \cdot 20) e^{- 7 x} + e^{- 7 x} (20 x - 20)$

Etapa 4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$- 7 (10 x^{2}) e^{- 7 x} - 7 (- 20 x) e^{- 7 x} - 7 \cdot 20 e^{- 7 x} + e^{- 7 x} (20 x - 20)$

Etapa 4.3

Aplique a propriedade distributiva.

$- 7 (10 x^{2}) e^{- 7 x} - 7 (- 20 x) e^{- 7 x} - 7 \cdot 20 e^{- 7 x} + e^{- 7 x} (20 x) + e^{- 7 x} \cdot - 20$

Etapa 4.4

Combine os termos.

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Etapa 4.4.1

Multiplique $10$ por $- 7$ .

$- 70 x^{2} e^{- 7 x} - 7 (- 20 x) e^{- 7 x} - 7 \cdot 20 e^{- 7 x} + e^{- 7 x} (20 x) + e^{- 7 x} \cdot - 20$

Etapa 4.4.2

Multiplique $- 20$ por $- 7$ .

$- 70 x^{2} e^{- 7 x} + 140 x e^{- 7 x} - 7 \cdot 20 e^{- 7 x} + e^{- 7 x} (20 x) + e^{- 7 x} \cdot - 20$

Etapa 4.4.3

Multiplique $- 7$ por $20$ .

$- 70 x^{2} e^{- 7 x} + 140 x e^{- 7 x} - 140 e^{- 7 x} + e^{- 7 x} (20 x) + e^{- 7 x} \cdot - 20$

Etapa 4.4.4

Mova $- 20$ para a esquerda de $e^{- 7 x}$ .

$- 70 x^{2} e^{- 7 x} + 140 x e^{- 7 x} - 140 e^{- 7 x} + e^{- 7 x} (20 x) - 20 \cdot e^{- 7 x}$

Etapa 4.4.5

Some $140 x e^{- 7 x}$ e $e^{- 7 x} (20 x)$ .

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Etapa 4.4.5.1

Mova $e^{- 7 x}$ .

$- 70 x^{2} e^{- 7 x} + 140 x e^{- 7 x} + 20 x e^{- 7 x} - 140 e^{- 7 x} - 20 e^{- 7 x}$

Etapa 4.4.5.2

Some $140 x e^{- 7 x}$ e $20 x e^{- 7 x}$ .

$- 70 x^{2} e^{- 7 x} + 160 x e^{- 7 x} - 140 e^{- 7 x} - 20 e^{- 7 x}$

Etapa 4.4.6

Subtraia $20 e^{- 7 x}$ de $- 140 e^{- 7 x}$ .

$- 70 x^{2} e^{- 7 x} + 160 x e^{- 7 x} - 160 e^{- 7 x}$

Etapa 4.5

Reordene os termos.

$- 70 e^{- 7 x} x^{2} + 160 e^{- 7 x} x - 160 e^{- 7 x}$

Etapa 4.6

Reordene os fatores em $- 70 e^{- 7 x} x^{2} + 160 e^{- 7 x} x - 160 e^{- 7 x}$ .

$- 70 x^{2} e^{- 7 x} + 160 x e^{- 7 x} - 160 e^{- 7 x}$